Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial
. Vamos resolver essa equação para encontrar todas as soluções possíveis. Para isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especialmente o método do fator integrante. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para a forma:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
E o lado direito:
Fazendo a substituição
,
:
Passo 6
Voltando à equação integrada:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.