Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + x y = 2 x

Passo 1

Então, temos a equação diferencial . Vamos resolver essa equação para encontrar todas as soluções possíveis. Para isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especialmente o método do fator integrante. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para a forma:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
E o lado direito:
Fazendo a substituição , :

Passo 6

Voltando à equação integrada:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' - 4y = 2x - 4x^2
t^3 y' + 2 y = e^(1/t^2), y(1) = e
d/y dt = e^t - y Res.: y = e^t / 2 + C e^(-t)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral0^x cos (x^2) d y d x