Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + x y = 2 x

Passo 1

Então, temos a equação diferencial . Vamos resolver essa equação para encontrar todas as soluções possíveis. Para isso, vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem, especialmente o método do fator integrante. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar a fórmula para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para a forma:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
E o lado direito:
Fazendo a substituição , :

Passo 6

Voltando à equação integrada:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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