t^3 y' + 2 y = e^(1/t^2), y(1) = e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a transformar a equação em uma forma que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por :
Agora, identificamos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular a integral:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, a equação da esquerda é a derivada do produto . Assim, podemos escrever:
Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Então:

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
Ou, simplificando:

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