Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O problema que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a transformar a equação em uma forma que seja mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por
:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular a integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, a equação da esquerda é a derivada do produto
. Assim, podemos escrever:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Então:
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Ou, simplificando:
Exercícios relacionados
Resolva o PVI:
.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.