Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 3y = e^(2x) + 6

Passo 1

Então, temos a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação na forma padrão . Aqui, e .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso se simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade que .

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-y^y sen x d x d y
y' + y/t = t * y^2 Res.: y = 1 / (C t - t^2)
y' cos^2(t) y - 1 = 0, y(0) = 5 Res.: y = 1 + 4 e^(-tan(t))
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' = 2y/x + x^2 e^x