Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação na forma padrão
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso se simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade que
.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.