Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 3y = e^(2x) + 6

Passo 1

Então, temos a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação na forma padrão . Aqui, e .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai ajudar a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso se simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade que .

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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