Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
. Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares. Para resolver, vamos precisar utilizar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que a gente consiga encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão
, onde
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por
.
Passo 3
Calculando o fator integrante:
Esse fator vai ser usado para multiplicar toda a equação e facilitar a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calculamos a integral
. Usando integração por partes ou a fórmula padrão, obtemos:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por
para isolar
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.