Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 2y = cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial . Isso pertence ao conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares. Para resolver, vamos precisar utilizar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que a gente consiga encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão , onde e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por .

Passo 3

Calculando o fator integrante:
Esse fator vai ser usado para multiplicar toda a equação e facilitar a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto . Então podemos escrever:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Isso simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Calculamos a integral . Usando integração por partes ou a fórmula padrão, obtemos:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por para isolar y, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral0^x cos (x^2) d y d x
d/y dt = e^t - y Res.: y = e^t / 2 + C e^(-t)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^3 integral1^2(12 x y^2-8 x^3) d y d x
y' + y/t = t * y^2 Res.: y = 1 / (C t - t^2)