Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral0^x cos (x^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla, que é tipo integrar uma função em duas direções diferentes. A integral que temos é:
integral0^pi integral0^x cos (x^2) , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, ou seja, primeiro integramos em uma variável e depois na outra. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções simples e entender um pouco sobre como manipular os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar entendendo a estrutura dessa integral dupla. A gente tem duas integrais, uma dentro da outra. A integral mais interna é em relação a , que vai de até . A integral externa é em relação a , de até .
Como a função que estamos integrando é , que não depende de , isso facilita um pouco as coisas. Podemos tratar como uma constante em relação a .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é:
integral0^x cos (x^2) , dy
Como cos(x^2) times integral0^x dy = cos(x^2) times [y]0^x = cos(x^2) times (x - 0) = x cos(x^2) não depende de , a gente integra em relação a . Ou seja:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, a gente substitui isso na integral externa. Ficou assim:
integral0^pi x cos(x^2) , dx
Então, agora precisamos resolver essa nova integral em relação a .

Passo 5

Para integrar du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx em relação a , podemos usar uma substituição. Vamos deixar . Então, a gente calcula a derivada de em relação a :
Isso nos permite reescrever a integral em termos de .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral x cos(x^2) , dx = integral cos(u) cdot du2 = 12 integral cos(u) , du
A integral de 12 sin(u) + C em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original 12 sin(x^2) + C . Lembrando que , temos:
Essa é a antiderivada da nossa função.

Passo 8

Como estamos resolvendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de [12 sin(x^2)]0^pi = 12 sin(pi^2) - 12 sin(0^2) a 12 sin(pi^2) - 0 = 12 sin(pi^2) :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral iterada vale .

Exercícios relacionados

d/y dt = e^t - y Res.: y = e^t / 2 + C e^(-t)
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + x y = 2 x
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 2y = cos(x)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^3 integral1^2(12 x y^2-8 x^3) d y d x