Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral dupla, que é tipo integrar uma função em duas direções diferentes. A integral que temos é:
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, ou seja, primeiro integramos em uma variável e depois na outra. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções simples e entender um pouco sobre como manipular os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar entendendo a estrutura dessa integral dupla. A gente tem duas integrais, uma dentro da outra. A integral mais interna é em relação a
, que vai de
até
. A integral externa é em relação a
, de
até
.
Como a função que estamos integrando é
, que não depende de
, isso facilita um pouco as coisas. Podemos tratar
como uma constante em relação a
.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é:
Como
não depende de
, a gente integra
em relação a
. Ou seja:
Passo 4
Agora que resolvemos a integral interna, a gente substitui isso na integral externa. Ficou assim:
Então, agora precisamos resolver essa nova integral em relação a
.
Passo 5
Para integrar
em relação a
, podemos usar uma substituição. Vamos deixar
. Então, a gente calcula a derivada de
em relação a
:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que
, temos:
Essa é a antiderivada da nossa função.
Passo 8
Como estamos resolvendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de
a
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral iterada vale
.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.