Res.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou é a seguinte equação diferencial:
Nossa missão é resolver essa equação e chegar na solução dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de Bernoulli, que é o tipo dessa equação. Essas equações têm a forma geral:
No nosso caso, temos
,
, e
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a equação. A ideia é transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.
Definimos uma nova variável
da seguinte forma:
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Vamos reescrever a equação original usando
. A equação original é:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.