y' + y/t = t * y^2 Res.: y = 1 / (C t - t^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou é a seguinte equação diferencial:
Nossa missão é resolver essa equação e chegar na solução dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais de Bernoulli, que é o tipo dessa equação. Essas equações têm a forma geral:
No nosso caso, temos , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a equação. A ideia é transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.
Definimos uma nova variável da seguinte forma:
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 3

Vamos reescrever a equação original usando . A equação original é:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear em termos de :
Onde e .

Passo 4

Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Lembrando que , então:
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^3 integral1^2(12 x y^2-8 x^3) d y d x
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 2y = cos(x)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-y^y sen x d x d y
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 3y = e^(2x) + 6