Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde vamos integrar a função
primeiro em relação a
de 1 a 2 e depois em relação a
de 0 a 3. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais iteradas, e vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. A função para integrar é
. Como estamos integrando em relação a
, consideramos
como uma constante.
A integral de
em relação a
é:
A integral de
em relação a
é:
Então, a integral interna fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar os limites de integração para
de 1 a 2:
Substituindo
:
Substituindo
:
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:
Passo 4
Com a expressão resultante da integral interna, agora vamos integrar em relação a
de 0 a 3:
Vamos integrar termo a termo:
A integral de
em relação a
é:
A integral de
em relação a
é:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração para
de 0 a 3:
Substituindo
:
Substituindo
:
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:
Resposta
A integral iterada
é igual a
.
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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.