Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^3 integral1^2(12 x y^2-8 x^3) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde vamos integrar a função primeiro em relação a de 1 a 2 e depois em relação a de 0 a 3. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais iteradas, e vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral 12xy^2 , dy = 12x cdot y^33 = 4xy^3 . A função para integrar é integral -8x^3 , dy = -8x^3 cdot y . Como estamos integrando em relação a 4xy^3 - 8x^3y , consideramos como uma constante.
A integral de em relação a é:
A integral de em relação a é:
Então, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração para 4x(2)^3 - 8x^3(2) = 4x cdot 8 - 16x^3 = 32x - 16x^3 de 1 a 2:
Substituindo 4x(1)^3 - 8x^3(1) = 4x - 8x^3 :
(32x - 16x^3) - (4x - 8x^3) = 28x - 8x^3
Substituindo :
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:

Passo 4

Com a expressão resultante da integral interna, agora vamos integrar em relação a integral0^3 (28x - 8x^3) , dx de 0 a 3:
28 cdot x^22 = 14x^2
Vamos integrar termo a termo:
A integral de -8 cdot x^44 = -2x^4 em relação a 14x^2 - 2x^4 é:
A integral de em relação a é:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração para 14(3)^2 - 2(3)^4 = 14 cdot 9 - 2 cdot 81 = 126 - 162 = -36 de 0 a 3:
Substituindo 14(0)^2 - 2(0)^4 = 0 - 0 = 0 :
-36 - 0 = -36
Substituindo :
Agora, subtraímos o segundo resultado do primeiro:

Resposta

A integral iterada é igual a .

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Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 2y = cos(x)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral0^x cos (x^2) d y d x
y' + y/t = t * y^2 Res.: y = 1 / (C t - t^2)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-y^y sen x d x d y