Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-y^y sen x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para calcular: . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de integrais iteradas. Vamos precisar entender a região de integração e decidir se é melhor manter a ordem dos integrais ou inverter para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O varia de 0 a , e para cada valor de , o varia de a . Isso significa que a região está entre as retas e , indo de até . Imagina um V de cabeça para baixo no plano , desde a origem até .

Passo 3

Agora, vamos ver se é mais fácil calcular a integral nessa ordem ou inverter a ordem dos integrais. Às vezes, inverter ajuda a simplificar os limites ou a função a ser integrada. Mas aqui, a integral de em relação a é direta, então vamos manter a ordem original.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é . A antiderivada de é integral-y^y sen x , dx = [-cos x]-y^y = -cos y - (-cos(-y)) . Então:
Lembrando que -cos y + cos y = 0 , então:

Passo 5

Então, a integral interna é zero para qualquer integral0^pi 0 , dy = 0 no intervalo de 0 a . Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

y' + y/t = t * y^2 Res.: y = 1 / (C t - t^2)
Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^3 integral1^2(12 x y^2-8 x^3) d y d x
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais. y' + 3y = e^(2x) + 6
y' cos^2(t) y - 1 = 0, y(0) = 5 Res.: y = 1 + 4 e^(-tan(t))