Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
integral0^pi integral-y^y sen x d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para calcular: . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de integrais iteradas. Vamos precisar entender a região de integração e decidir se é melhor manter a ordem dos integrais ou inverter para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O varia de 0 a , e para cada valor de , o varia de a . Isso significa que a região está entre as retas e , indo de até . Imagina um V de cabeça para baixo no plano , desde a origem até .

Passo 3

Agora, vamos ver se é mais fácil calcular a integral nessa ordem ou inverter a ordem dos integrais. Às vezes, inverter ajuda a simplificar os limites ou a função a ser integrada. Mas aqui, a integral de em relação a é direta, então vamos manter a ordem original.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é . A antiderivada de é integral-y^y sen x , dx = [-cos x]-y^y = -cos y - (-cos(-y)) . Então:
Lembrando que -cos y + cos y = 0 , então:

Passo 5

Então, a integral interna é zero para qualquer integral0^pi 0 , dy = 0 no intervalo de 0 a . Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa:

Resposta

O valor da integral é .

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