Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla para calcular: . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente de integrais iteradas. Vamos precisar entender a região de integração e decidir se é melhor manter a ordem dos integrais ou inverter para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O
varia de 0 a
, e para cada valor de
, o
varia de
a
. Isso significa que a região está entre as retas
e
, indo de
até
. Imagina um V de cabeça para baixo no plano
, desde a origem até
.
Passo 3
Agora, vamos ver se é mais fácil calcular a integral nessa ordem ou inverter a ordem dos integrais. Às vezes, inverter ajuda a simplificar os limites ou a função a ser integrada. Mas aqui, a integral de em relação a
é direta, então vamos manter a ordem original.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é . A antiderivada de é
. Então:
Lembrando que
, então:
Passo 5
Então, a integral interna é zero para qualquer
no intervalo de 0 a
. Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.
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Em cada caso, esboce a região de integração e calcule a integral iterada. Se achar conveniente inverta a ordem de integração.
Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.