Achar o trabalho de uma força variável, dirigida para a origem das coordenadas, cuja grandeza é proporcional ao afastamento do ponto em relação a origem das coordenadas, se o ponto de aplicações dessa força descreve, no sentido anti-horário, a parte da elipse
no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o trabalho feito por uma força que muda de intensidade e sempre aponta pra origem. Essa força é proporcional à distância do ponto até a origem. O ponto onde essa força atua se move na parte da primeira quadrante de uma elipse dada por
, seguindo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho de forças variáveis e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a força está definida. A força é proporcional ao deslocamento, então podemos escrever a força como
, onde
é uma constante de proporcionalidade,
é o vetor posição do ponto, e o sinal negativo indica que a força aponta para a origem.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a trajetória do ponto na elipse. A equação da elipse é
. Podemos usar um parâmetro
para descrever o movimento no sentido anti-horário:
Aqui,
varia de
a
para cobrir a primeira quadrante.
Passo 4
O trabalho realizado pela força ao longo do caminho é dado pela integral do produto escalar da força pela derivada do vetor posição em relação ao parâmetro
:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Calculando o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Podemos simplificar a integral usando a identidade
:
Resposta
O trabalho realizado pela força é
.
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; em torno do eixo-x
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seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
Onde
é o triângulo de vértices
.
Verifique se a função é diferenciável na origem
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