Achar o trabalho de uma força variável, dirigida para a origem das coordenadas, cuja grandeza é proporcional ao afastamento do ponto em relação a origem das coordenadas, se o ponto de aplicações dessa força descreve, no sentido anti-horário, a parte da elipse no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o trabalho feito por uma força que muda de intensidade e sempre aponta pra origem. Essa força é proporcional à distância do ponto até a origem. O ponto onde essa força atua se move na parte da primeira quadrante de uma elipse dada por , seguindo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho de forças variáveis e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a força está definida. A força é proporcional ao deslocamento, então podemos escrever a força como , onde é uma constante de proporcionalidade, é o vetor posição do ponto, e o sinal negativo indica que a força aponta para a origem.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a trajetória do ponto na elipse. A equação da elipse é . Podemos usar um parâmetro para descrever o movimento no sentido anti-horário:
Aqui, varia de a para cobrir a primeira quadrante.

Passo 4

O trabalho realizado pela força ao longo do caminho é dado pela integral do produto escalar da força pela derivada do vetor posição em relação ao parâmetro :
Substituindo e , temos:

Passo 5

Calculando o produto escalar :

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a :
Podemos simplificar a integral usando a identidade :

Resposta

O trabalho realizado pela força é .

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