Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
ointc ln (1+y) cdot d x-x cdot y1+y cdot d y
Onde C é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e(0,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha ao longo da curva , que é um triângulo com vértices em , e , usando o Teorema de Green. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha e aplicação do Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais de área, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy que delimita uma região , temos:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -x cdot y1+y ) = -y1+y
partial Ppartial y = partialpartial y ( ln(1+y) ) = 11+y

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointC ln(1+y) , dx - x cdot y1+y , dy = integral duplaD ( -y1+y - 11+y ) , dx , dy
Simplificando a expressão dentro da integral dupla:
-y + 11+y = -1

Passo 5

Então, a integral de área fica:
integral duplaD (-1) , dx , dy = - integral duplaD 1 , dx , dy = - Área(D) Á

Passo 6

Vamos calcular a área do triângulo Área = b cdot h2 com vértices em Área = 2 cdot 42 = 4 , e . A fórmula da área de um triângulo com base e altura é:
Á
Aqui, a base (de a ) e a altura (de a ).
Á

Passo 7

Substituindo na integral:
- Área(D) = -4 Á

Resposta

A integral vale .

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