Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
Onde
é o triângulo de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral de linha ao longo da curva
, que é um triângulo com vértices em
,
e
, usando o Teorema de Green. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha e aplicação do Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais de área, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Simplificando a expressão dentro da integral dupla:
Passo 5
Então, a integral de área fica:
Passo 6
Vamos calcular a área do triângulo
com vértices em
,
e
. A fórmula da área de um triângulo com base
e altura
é:
Aqui, a base
(de
a
) e a altura
(de
a
).
Passo 7
Substituindo na integral:
Resposta
A integral vale
.