Verifique se a função é diferenciável na origem

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função é diferenciável na origem, isto é, no ponto . A função dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade em várias variáveis e como verificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável num ponto se ela tiver derivadas parciais nesse ponto e se a aproximação linear dessa função for uma boa aproximação perto desse ponto.
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas parciais de em relação a e na origem .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a na origem. Por definição, isso é:
Como , e para , (porque o numerador ), então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a na origem:
Similarmente, para , , então:

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, agora precisamos verificar se a função pode ser bem aproximada por sua linha tangente perto da origem. Para isso, analisamos o limite:
Como e as derivadas parciais também são 0, o limite simplifica para:

Passo 6

Vamos substituir :
Para analisar esse limite, podemos usar coordenadas polares, onde e , com .

Passo 7

Substituindo em coordenadas polares:
Agora, ao tomar o limite quando :

Passo 8

Como o limite deu zero, isso significa que a função é bem aproximada pela sua linha tangente (que aqui é simplesmente zero) perto da origem. Portanto, a função é diferenciável na origem.

Resposta

A função é diferenciável na origem .

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