Verifique se a função é diferenciável na origem
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função
é diferenciável na origem, isto é, no ponto
. A função dada é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diferenciabilidade em várias variáveis e como verificar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de duas variáveis é diferenciável num ponto se ela tiver derivadas parciais nesse ponto e se a aproximação linear dessa função for uma boa aproximação perto desse ponto.
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
na origem
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
na origem. Por definição, isso é:
Como
, e para
,
(porque o numerador
), então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
na origem:
Similarmente, para
,
, então:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, agora precisamos verificar se a função pode ser bem aproximada por sua linha tangente perto da origem. Para isso, analisamos o limite:
Como
e as derivadas parciais também são 0, o limite simplifica para:
Passo 6
Vamos substituir
:
Para analisar esse limite, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, com
.
Passo 7
Substituindo em coordenadas polares:
Agora, ao tomar o limite quando
:
Passo 8
Como o limite deu zero, isso significa que a função
é bem aproximada pela sua linha tangente (que aqui é simplesmente zero) perto da origem. Portanto, a função é diferenciável na origem.
Resposta
A função
é diferenciável na origem
.
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