Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
; em torno do eixo-x
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas:
e
. Queremos encontrar o volume formado quando a região limitada por essas curvas é girada em torno do eixo-x, usando o método das cascas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método e calcular a integral correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as curvas envolvidas. A equação
representa uma parábola que se abre para a direita, deslocada 2 unidades no eixo y. Já a equação
é uma linha vertical. Precisamos identificar os pontos onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da região que vamos girar.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Igualando
a
:
Então, os pontos de interseção são
e
. Isso significa que a região que vamos girar está entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil para calcular volumes de rotação quando a região está delimitada perpendicularmente ao eixo de rotação. A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndricas em torno do eixo-x é:
Aqui,
é a distância do elemento da casca ao eixo de rotação,
e
são as funções que delimitam a região.
Passo 5
Identificando as funções que delimitam a região:
- A fronteira direita é
, então . - A fronteira esquerda é
, então .
A altura da casca é a diferença entre essas funções:
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Agora, vamos resolver essa integral.
Passo 7
Primeiro, vamos expandir
:
Então,
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 10
Avaliando a antiderivada no intervalo de 1 a 3:
Calculando para
:
Calculando para
:
Então, a diferença é:
Passo 11
Finalmente, multiplicando pelo
:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região em torno do eixo-x é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
Onde
é o triângulo de vértices
.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
; em torno da reta
Achar o trabalho de uma força variável, dirigida para a origem das coordenadas, cuja grandeza é proporcional ao afastamento do ponto em relação a origem das coordenadas, se o ponto de aplicações dessa força descreve, no sentido anti-horário, a parte da elipse
no primeiro quadrante.
Verifique se a função é diferenciável na origem