Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
; em torno do eixo-x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas: e . Queremos encontrar o volume formado quando a região limitada por essas curvas é girada em torno do eixo-x, usando o método das cascas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método e calcular a integral correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as curvas envolvidas. A equação representa uma parábola que se abre para a direita, deslocada 2 unidades no eixo y. Já a equação é uma linha vertical. Precisamos identificar os pontos onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da região que vamos girar.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas. Igualando a :
Então, os pontos de interseção são e . Isso significa que a região que vamos girar está entre e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil para calcular volumes de rotação quando a região está delimitada perpendicularmente ao eixo de rotação. A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndricas em torno do eixo-x é:
Aqui, é a distância do elemento da casca ao eixo de rotação, e são as funções que delimitam a região.

Passo 5

Identificando as funções que delimitam a região:
  • A fronteira direita é , então .
  • A fronteira esquerda é , então .
A altura da casca é a diferença entre essas funções:

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
Agora, vamos resolver essa integral.

Passo 7

Primeiro, vamos expandir :
Então,

Passo 8

Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 10

Avaliando a antiderivada no intervalo de 1 a 3:
Calculando para :
Calculando para :
Então, a diferença é:

Passo 11

Finalmente, multiplicando pelo :

Resposta

O volume gerado pela rotação da região em torno do eixo-x é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
Onde é o triângulo de vértices .
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada em torno do eixo especificado. Esboce o gráfico da região.
; em torno da reta
Achar o trabalho de uma força variável, dirigida para a origem das coordenadas, cuja grandeza é proporcional ao afastamento do ponto em relação a origem das coordenadas, se o ponto de aplicações dessa força descreve, no sentido anti-horário, a parte da elipse no primeiro quadrante.
Verifique se a função é diferenciável na origem