Achar uma transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(1,1)=(2,-3) e T(-1,3)=(1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear! A gente precisa encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Pra isso, vamos usar matrizes, que são uma maneira prática de representar transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear no plano pode ser representada por uma matriz A = a & b c & d 2x2. Ou seja, , onde é um vetor em . Vamos chamar a matriz de:

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas no exercício. Sabemos que:
T(1,1) = 2 -3
E também:
T(-1,3) = 1 0
Isso significa que:
A 1 1 = 2 -3
E:
A -1 3 = 1 0

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz a cdot 1 + b cdot 1 = 2 c cdot 1 + d cdot 1 = -3 pelos vetores dados para formar um sistema de equações. Fazendo a multiplicação, temos:
Para a + b = 2 c + d = -3 :
a cdot (-1) + b cdot 3 = 1 c cdot (-1) + d cdot 3 = 0
Ou seja:
- a + 3b = 1 - c + 3d = 0
Para :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema de quatro equações:
a + b = 2 (1) c + d = -3 (2) - a + 3b = 1 (3) - c + 3d = 0 (4)
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 6

Primeiro, vamos resolver as equações relacionadas a - (2 - b) + 3b = 1 -2 + b + 3b = 1 4b = 3 b = 34 e a = 2 - 34 = 54 :
De (1):
Substituindo na equação (3):
Agora, voltando em (1):

Passo 7

Agora, vamos resolver as equações relacionadas a - (-3 - d) + 3d = 0 3 + d + 3d = 0 4d = -3 d = -34 e c = -3 - (-34) = -94 :
De (2):
Substituindo na equação (4):
Voltando em (2):

Resposta

A transformação linear T(x) = 54 & 34 -94 & -34 x é dada pela matriz:

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