Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear! A gente precisa encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Pra isso, vamos usar matrizes, que são uma maneira prática de representar transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear no plano pode ser representada por uma matriz 2x2. Ou seja, , onde é um vetor em . Vamos chamar a matriz de:
Passo 3
Agora, vamos usar as informações dadas no exercício. Sabemos que:
E também:
Isso significa que:
E:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados para formar um sistema de equações. Fazendo a multiplicação, temos:
Para :
Ou seja:
Para :
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 6
Primeiro, vamos resolver as equações relacionadas a - (2 - b) + 3b = 1 -2 + b + 3b = 1 4b = 3 b = 34 e a = 2 - 34 = 54 :
De (1):
Substituindo na equação (3):
Agora, voltando em (1):
Passo 7
Agora, vamos resolver as equações relacionadas a - (-3 - d) + 3d = 0 3 + d + 3d = 0 4d = -3 d = -34 e c = -3 - (-34) = -94 :
De (2):
Substituindo na equação (4):
Voltando em (2):
Resposta
A transformação linear T(x) = 54 & 34 -94 & -34 x é dada pela matriz: