Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear! A gente precisa encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Pra isso, vamos usar matrizes, que são uma maneira prática de representar transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear no plano pode ser representada por uma matriz 2x2. Ou seja, , onde é um vetor em . Vamos chamar a matriz de:
Passo 3
Agora, vamos usar as informações dadas no exercício. Sabemos que:
E também:
Isso significa que:
E:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados para formar um sistema de equações. Fazendo a multiplicação, temos:
Para :
Ou seja:
Para :
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 6
Primeiro, vamos resolver as equações relacionadas a e :
De (1):
Substituindo na equação (3):
Agora, voltando em (1):
Passo 7
Agora, vamos resolver as equações relacionadas a e :