Achar uma transformação linear tal que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear! A gente precisa encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Pra isso, vamos usar matrizes, que são uma maneira prática de representar transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear no plano pode ser representada por uma matriz 2x2. Ou seja, , onde é um vetor em . Vamos chamar a matriz de:

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas no exercício. Sabemos que:
E também:
Isso significa que:
E:

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados para formar um sistema de equações. Fazendo a multiplicação, temos:
Para :
Ou seja:
Para :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 6

Primeiro, vamos resolver as equações relacionadas a e :
De (1):
Substituindo na equação (3):
Agora, voltando em (1):

Passo 7

Agora, vamos resolver as equações relacionadas a e :
De (2):
Substituindo na equação (4):
Voltando em (2):

Resposta

A transformação linear é dada pela matriz:

Exercícios relacionados

Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Determinar a equação vetorial da reta que passa pelos pontos .