Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma aplicação definida por . Precisamos verificar se essa aplicação é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de Álgebra Linear sobre aplicações lineares, que envolvem verificar se a função preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é dita linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Preservação da Adição:
  2. Preservação da Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura do espaço vetorial é mantida pela aplicação .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a preservação da adição. Seja e . Então:
Por outro lado:
Para que a aplicação seja linear, devemos ter . No entanto, isso nem sempre é verdade. Por exemplo, se e :
Como , a primeira propriedade não é satisfeita.

Passo 4

Já que a preservação da adição não foi mantida, não é necessário verificar a segunda propriedade. Para uma aplicação ser linear, ambas as propriedades precisam ser verdadeiras. Portanto, podemos concluir que não é uma aplicação linear.

Resposta

A aplicação não é linear.

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Para cada uma das seguintes matrizes, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
Sabendo que , calcular:
Achar uma transformação linear tal que e .