Verifique quais das aplicações abaixo são lineares: T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(|x|, 3 y)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma aplicação definida por . Precisamos verificar se essa aplicação é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de Álgebra Linear sobre aplicações lineares, que envolvem verificar se a função preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é dita linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Preservação da Adição:
  2. Preservação da Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura do espaço vetorial é mantida pela aplicação .

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a preservação da adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (|x1 + x2|, 3(y1 + y2)) e T(u) + T(v) = (|x1|, 3y1) + (|x2|, 3y2) = (|x1| + |x2|, 3y1 + 3y2) . Então:
|1 + (-1)| = |0| = 0 e |1| + |-1| = 1 + 1 = 2
Por outro lado:
Para que a aplicação seja linear, devemos ter . No entanto, isso nem sempre é verdade. Por exemplo, se e :
Como , a primeira propriedade não é satisfeita.

Passo 4

Já que a preservação da adição não foi mantida, não é necessário verificar a segunda propriedade. Para uma aplicação ser linear, ambas as propriedades precisam ser verdadeiras. Portanto, podemos concluir que não é uma aplicação linear.

Resposta

A aplicação não é linear.

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