Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma aplicação
definida por
. Precisamos verificar se essa aplicação é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de Álgebra Linear sobre aplicações lineares, que envolvem verificar se a função preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma aplicação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é dita linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Preservação da Adição:
- Preservação da Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a estrutura do espaço vetorial é mantida pela aplicação
.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a preservação da adição. Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Para que a aplicação seja linear, devemos ter
. No entanto, isso nem sempre é verdade. Por exemplo, se
e
:
Como
, a primeira propriedade não é satisfeita.
Passo 4
Já que a preservação da adição não foi mantida, não é necessário verificar a segunda propriedade. Para uma aplicação ser linear, ambas as propriedades precisam ser verdadeiras. Portanto, podemos concluir que
não é uma aplicação linear.
Resposta
A aplicação
não é linear.
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Para cada uma das seguintes matrizes, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
Sabendo que
, calcular:
Achar uma transformação linear
tal que
e
.