Achar, usando a transformada de Laplace, a solução da equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a **Transformada de Laplace**. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos aplicar a Transformada de Laplace, que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Agora, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace para cada termo.
Passo 3
Sabemos que:
Onde é a Transformada de Laplace de .
Passo 4
Substituindo essas transformadas na equação:
Sabemos que e , então:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com :
Agora, isolamos :
Passo 6
Para simplificar, vamos decompôr a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 7
Expandindo e agrupando termos:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser iguais:
1.
2.
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Passo 8
Substituindo os valores de e na decomposição:
Agora, substituímos de volta na expressão de :
Passo 9
Vamos separar os termos:
Simplificando:
Passo 10
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
-
-
-
Passo 11
Somando tudo:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Considere a transformação definida por
(a) Determine a imagem no plano da região no plano limitada pelas retas e .
Achar a solução em série de potências de da equação de Airy:
$$
y^{\prime \prime}-x y=0, \quad-\infty
Usando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial:
Resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea via transformada de Laplace: