Resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea via transformada de Laplace:

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é homogênea, ou seja, sem termos independentes. A equação é:
Vamos resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos entender como a transformada de Laplace lida com derivadas e como aplicá-la para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada segunda, , é dada por:
E a transformada de , , é simplesmente . Então, aplicando a transformada na equação original:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 4

Com encontrado, o próximo passo é aplicar a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo e encontrar . Sabemos que:
Observando que:
Podemos reescrever o segundo termo como:

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Usando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial:
Achar, usando a transformada de Laplace, a solução da equação diferencial:
Esboce a região definida por e . Encontre a integral da função
sobre esta região. (Resp.: 0)
Determine a região de integração , esboce-a no plano e troque a ordem de integração da integral iterada .