Resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea via transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é homogênea, ou seja, sem termos independentes. A equação é:
Vamos resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos entender como a transformada de Laplace lida com derivadas e como aplicá-la para encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada segunda,
, é dada por:
E a transformada de
,
, é simplesmente
. Então, aplicando a transformada na equação original:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos que contêm
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados da equação por
:
Passo 4
Com
encontrado, o próximo passo é aplicar a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo e encontrar
. Sabemos que:
Observando que:
Podemos reescrever o segundo termo como:
Passo 5
Aplicando a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Usando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial:
Achar, usando a transformada de Laplace, a solução da equação diferencial:
Esboce a região definida por
e
. Encontre a integral da função
sobre esta região. (Resp.: 0)
Determine a região de integração
, esboce-a no plano
e troque a ordem de integração da integral iterada
.