Resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea via transformada de Laplace:
y'' + omega^2 y = 0

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é homogênea, ou seja, sem termos independentes. A equação é:
Vamos resolver essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, precisamos entender como a transformada de Laplace lida com derivadas e como aplicá-la para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada segunda, , é dada por:
E a transformada de y, L{y}, é simplesmente . Então, aplicando a transformada na equação original:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 4

Com encontrado, o próximo passo é aplicar a transformada inversa de Laplace para voltar ao domínio do tempo e encontrar y(t). Sabemos que:
Observando que:
Podemos reescrever o segundo termo como:

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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