Usando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial:
y'' + 4y = e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos conhecer as propriedades da transformada de funções derivadas e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

Passo 3

Sabemos que:
Substituindo e :

Passo 4

Também sabemos que:
E .

Passo 5

Substituindo na equação transformada:

Passo 6

Vamos juntar os termos com :

Passo 7

Para simplificar, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para , e , encontramos , e .

Passo 8

Então, a expressão fica:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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