Usando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos conhecer as propriedades da transformada de funções derivadas e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

Passo 3

Sabemos que:
Substituindo e :

Passo 4

Também sabemos que:
E .

Passo 5

Substituindo na equação transformada:

Passo 6

Vamos juntar os termos com :

Passo 7

Para simplificar, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para , e , encontramos , e .

Passo 8

Então, a expressão fica:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Achar, usando a transformada de Laplace, a solução da equação diferencial:
Considere a transformação definida por
(a) Determine a imagem no plano da região no plano limitada pelas retas e .
Resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea via transformada de Laplace:
Esboce a região definida por e . Encontre a integral da função
sobre esta região. (Resp.: 0)