Usando a transformada de Laplace, resolva a equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Precisamos conhecer as propriedades da transformada de funções derivadas e aplicar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Passo 3
Sabemos que:
Substituindo
e
:
Passo 4
Também sabemos que:
E
.
Passo 5
Substituindo na equação transformada:
Passo 6
Vamos juntar os termos com
:
Passo 7
Para simplificar, vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para
,
e
, encontramos
,
e
.
Passo 8
Então, a expressão fica:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Achar, usando a transformada de Laplace, a solução da equação diferencial:
Considere a transformação
definida por
(a) Determine a imagem
no plano
da região
no plano
limitada pelas retas
e
.
Resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea via transformada de Laplace:
Esboce a região definida por
e
. Encontre a integral da função
sobre esta região. (Resp.: 0)