Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor de
que torna a igualdade da série infinita
verdadeira. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles.
Passo 2
Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
-
é o primeiro termo da série, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, comparando com a série dada:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula da série geométrica:
De acordo com a questão, essa soma deve ser igual a 2:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -4:
Resposta
O valor de
que satisfaz a igualdade da série é
.