Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita: sumk=1^infty(2 c)^k-1=2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor de sumk=1^infty(2c)^k-1 = 2 que torna a igualdade da série infinita
verdadeira. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles.

Passo 2

Uma série geométrica tem a forma geral:
sumk=1^infty ar^k-1 = a1 - r
onde:
  • a = 1 (porque quando k=1, (2c)^0 = 1) é o primeiro termo da série,
  • r = 2c é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, comparando com a série dada:

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da série geométrica:
sumk=1^infty(2c)^k-1 = 11 - 2c
De acordo com a questão, essa soma deve ser igual a 2:
11 - 2c = 2

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar 11 - 2c = 2 :
1 = 2(1 - 2c)
Multiplicando ambos os lados por 1 = 2 - 4c :
-1 = -4c
Expandindo:
c = 14
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -4:

Resposta

O valor de que satisfaz a igualdade da série é .

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