(a) Mostre que, se
estiverem na curva, então
também está; isto é, a curva é simétrica em relação à reta
. Onde a curva intercepta essa reta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas:
O exercício pede para a gente mostrar que se um ponto
está nessa curva, então o ponto
também está. Isso significa que a curva é simétrica em relação à reta
. Além disso, precisamos descobrir onde essa curva cruza a própria reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a curva ser simétrica em relação à reta
. Isso quer dizer que se substituirmos
por
e
por
, as equações continuam válidas.
Então, se
está na curva, temos:
Queremos mostrar que
também está na curva. Para isso, precisamos encontrar um parâmetro
tal que:
Vamos resolver a primeira equação para
:
E a segunda equação:
Agora, se compararmos com as equações originais, vemos que se escolhermos
, as equações vão se ajustar para que
também faça parte da curva. Isso mostra a simetria em relação à reta
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde a curva cruza a reta
. Para isso, vamos igualar
e
:
Como o denominador é o mesmo e diferente de zero (exceto quando
, que vamos verificar depois), podemos simplificar:
Resolvendo a equação
:
Então,
ou
.
Agora, vamos substituir esses valores de
nas equações de
e
:
- Para
:
Então, o ponto é
.
- Para
:
O denominador
, o que deixa as expressões indefinidas. Portanto,
não gera um ponto na curva.
Resposta
A curva é simétrica em relação à reta
e intercepta essa reta no ponto
.
Exercícios relacionados
Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita:
O método de datação por carbono possibilita estimar a idade de objetos contendo matéria orgânica. No momento da morte de um organismo, sua absorção de Carbono-14 é interrompida, enquanto que a transformação de C-14 em outros átomos ocorre de uma maneira conhecida. Portanto, a idade estimada pode ser deduzida da medida de C-14 restante. O cientista Willard Libby recebeu um Prêmio Nobel pelas contribuições dadas a esse método no final da década de 1940, e o conhecimento das idades de
certos artefatos possui profundos impactos culturais. A quantidade de Carbono-14 restante após anos é dada por uma função da forma
certos artefatos possui profundos impactos culturais. A quantidade de Carbono-14 restante após
sendo
e
constantes. Sabendo que a meia-vida do C-14 é de 5.600 anos (isto é, o tempo que leva para que a quantidade de C-14 se reduza pela metade), estime a idade de um osso fossilizado que contém um milésimo do nível de C-14 encontrado em tecidos vivos.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.