x = 3t / (1 - t^3) y = 3t^2 / (1 - t^3)
(a) Mostre que, se (a, b) estiverem na curva, então (b, a) também está; isto é, a curva é simétrica em relação à reta y = x. Onde a curva intercepta essa reta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas:
O exercício pede para a gente mostrar que se um ponto (a, b) está nessa curva, então o ponto (b, a) também está. Isso significa que a curva é simétrica em relação à reta . Além disso, precisamos descobrir onde essa curva cruza a própria reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a curva ser simétrica em relação à reta . Isso quer dizer que se substituirmos x por y e y por x, as equações continuam válidas.
Então, se (a, b) está na curva, temos:
Queremos mostrar que (b, a) também está na curva. Para isso, precisamos encontrar um parâmetro tal que:
Vamos resolver a primeira equação para :
E a segunda equação:
Agora, se compararmos com as equações originais, vemos que se escolhermos , as equações vão se ajustar para que (b, a) também faça parte da curva. Isso mostra a simetria em relação à reta .

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde a curva cruza a reta . Para isso, vamos igualar x e y:
Como o denominador é o mesmo e diferente de zero (exceto quando , que vamos verificar depois), podemos simplificar:
Resolvendo a equação :
Então, ou .
Agora, vamos substituir esses valores de t nas equações de x e y:
  • Para :
Então, o ponto é .
  • Para :
O denominador , o que deixa as expressões indefinidas. Portanto, não gera um ponto na curva.

Resposta

A curva é simétrica em relação à reta e intercepta essa reta no ponto .

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