(a) Mostre que, se estiverem na curva, então também está; isto é, a curva é simétrica em relação à reta . Onde a curva intercepta essa reta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas:
O exercício pede para a gente mostrar que se um ponto está nessa curva, então o ponto também está. Isso significa que a curva é simétrica em relação à reta . Além disso, precisamos descobrir onde essa curva cruza a própria reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a curva ser simétrica em relação à reta . Isso quer dizer que se substituirmos por e por , as equações continuam válidas.
Então, se está na curva, temos:
Queremos mostrar que também está na curva. Para isso, precisamos encontrar um parâmetro tal que:
Vamos resolver a primeira equação para :
E a segunda equação:
Agora, se compararmos com as equações originais, vemos que se escolhermos , as equações vão se ajustar para que também faça parte da curva. Isso mostra a simetria em relação à reta .

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde a curva cruza a reta . Para isso, vamos igualar e :
Como o denominador é o mesmo e diferente de zero (exceto quando , que vamos verificar depois), podemos simplificar:
Resolvendo a equação :
Então, ou .
Agora, vamos substituir esses valores de nas equações de e :
  • Para :
Então, o ponto é .
  • Para :
O denominador , o que deixa as expressões indefinidas. Portanto, não gera um ponto na curva.

Resposta

A curva é simétrica em relação à reta e intercepta essa reta no ponto .

Exercícios relacionados

Achar o valor de para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita:
O método de datação por carbono possibilita estimar a idade de objetos contendo matéria orgânica. No momento da morte de um organismo, sua absorção de Carbono-14 é interrompida, enquanto que a transformação de C-14 em outros átomos ocorre de uma maneira conhecida. Portanto, a idade estimada pode ser deduzida da medida de C-14 restante. O cientista Willard Libby recebeu um Prêmio Nobel pelas contribuições dadas a esse método no final da década de 1940, e o conhecimento das idades de
certos artefatos possui profundos impactos culturais. A quantidade de Carbono-14 restante após anos é dada por uma função da forma
sendo e constantes. Sabendo que a meia-vida do C-14 é de 5.600 anos (isto é, o tempo que leva para que a quantidade de C-14 se reduza pela metade), estime a idade de um osso fossilizado que contém um milésimo do nível de C-14 encontrado em tecidos vivos.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.