Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo envolvido aqui é sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo fixo do termo anterior. Para resolver isso, vamos identificar a razão da série e verificar se ela converge ou diverge. Se convergir, calculamos a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a identificação da razão. Temos:
Podemos reescrever isso usando as propriedades das potências:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora, a série pode ser reescrita como:
Podemos fatorar o -24 para facilitar:
Passo 4
Esse formato é uma série geométrica da forma:
Onde:
é o primeiro termo da série
é a razão
No nosso caso, (pois já fatoramos o -24) e .
Passo 5
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1:
Vamos verificar:
Como , a série converge.
Passo 6
Agora, vamos calcular a soma da série geométrica infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa no é:
No entanto, nossa série começa no , então precisamos ajustar a fórmula.