Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo envolvido aqui é sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo fixo do termo anterior. Para resolver isso, vamos identificar a razão da série e verificar se ela converge ou diverge. Se convergir, calculamos a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a identificação da razão. Temos:
Podemos reescrever isso usando as propriedades das potências:
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, a série pode ser reescrita como:
Podemos fatorar o -24 para facilitar:

Passo 4

Esse formato é uma série geométrica da forma:
Onde:
  • é o primeiro termo da série
  • é a razão
No nosso caso, (pois já fatoramos o -24) e .

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1:
Vamos verificar:
Como , a série converge.

Passo 6

Agora, vamos calcular a soma da série geométrica infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa no é:
No entanto, nossa série começa no , então precisamos ajustar a fórmula.

Passo 7

Para ajustar a série que começa no , usamos:
No nosso caso, já fatoramos o -24, então:

Passo 8

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular :
  1. Calcular o denominador :
  1. Colocar tudo junto:

Passo 9

Agora, simplificando:
Simplificando a fração:
Então:

Resposta

A série converge e a soma da série é:

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