Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=2^infty(-3)^n+1 2^3-4 n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=2^infty(-3)^n+1 cdot 2^3-4n
O conteúdo envolvido aqui é sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo fixo do termo anterior. Para resolver isso, vamos identificar a razão da série e verificar se ela converge ou diverge. Se convergir, calculamos a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a identificação da razão. Temos:
(-3)^n+1 cdot 2^3-4n
Podemos reescrever isso usando as propriedades das potências:
(-3)^n+1 = (-3) cdot (-3)^n
2^3-4n = 2^3 cdot 2^-4n = 8 cdot (2^-4)^n = 8 cdot (116)^n
Então, substituindo de volta:
(-3) cdot (-3)^n cdot 8 cdot (116)^n = -24 cdot ( -316 )^n

Passo 3

Agora, a série pode ser reescrita como:
sumn=2^infty -24 cdot ( -316 )^n
Podemos fatorar o -24 para facilitar:
-24 sumn=2^infty ( -316 )^n

Passo 4

Esse formato é uma série geométrica da forma:
sumn=k^infty ar^n
Onde:
  • é o primeiro termo da série
  • é a razão
No nosso caso, (pois já fatoramos o -24) e .

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto da razão deve ser menor que 1:
|r| < 1
Vamos verificar:
| -316 | = 316 < 1
Como , a série converge.

Passo 6

Agora, vamos calcular a soma da série geométrica infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa no S = a1 - r é:
No entanto, nossa série começa no , então precisamos ajustar a fórmula.

Passo 7

Para ajustar a série que começa no S = ar^2 cdot 11 - r, usamos:
S = -24 cdot ( -316 )^21 - ( -316 )
No nosso caso, já fatoramos o -24, então:

Passo 8

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular ( -316 )^2 = 9256:
1 - ( -316 ) = 1 + 316 = 1916
  1. Calcular o denominador S = -24 cdot 92561916 = -24 cdot 9256 cdot 1619:
  1. Colocar tudo junto:

Passo 9

Agora, simplificando:
-24 cdot 9 cdot 16256 cdot 19 = -24 cdot 1444864
Simplificando a fração:
1444864 = 9304
Então:
-24 cdot 9304 = -216304 = -2738

Resposta

A série converge e a soma da série é:
-2738

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