O método de datação por carbono possibilita estimar a idade de objetos contendo matéria orgânica. No momento da morte de um organismo, sua absorção de Carbono-14 é interrompida, enquanto que a transformação de C-14 em outros átomos ocorre de uma maneira conhecida. Portanto, a idade estimada pode ser deduzida da medida de C-14 restante. O cientista Willard Libby recebeu um Prêmio Nobel pelas contribuições dadas a esse método no final da década de 1940, e o conhecimento das idades de
certos artefatos possui profundos impactos culturais. A quantidade de Carbono-14 restante após anos é dada por uma função da forma
sendo e constantes. Sabendo que a meia-vida do C-14 é de 5.600 anos (isto é, o tempo que leva para que a quantidade de C-14 se reduza pela metade), estime a idade de um osso fossilizado que contém um milésimo do nível de C-14 encontrado em tecidos vivos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre datação por carbono-14! A gente precisa descobrir a idade de um osso fossilizado usando a quantidade restante de C-14. Para isso, vamos usar a função que descreve como a quantidade de C-14 diminui ao longo do tempo:
onde:
  • é a quantidade de C-14 após anos,
  • é a quantidade inicial de C-14,
  • é uma constante que vai depender da meia-vida do C-14.
Vamos precisar descobrir o valor de usando a meia-vida do C-14 e depois usar essa informação para calcular a idade do osso fossilizado.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante usando a meia-vida do carbono-14, que é de 5.600 anos. A meia-vida significa o tempo que leva para a quantidade de C-14 se reduzir pela metade. Então, quando anos, temos:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por :
Agora, para resolver para , vamos tomar o logaritmo natural dos dois lados:
Sabendo que , temos:
Calculando isso:

Passo 3

Agora que temos o valor de , vamos usar a fórmula original para encontrar a idade do osso fossilizado. Sabemos que o osso contém um milésimo do nível de C-14 encontrado em tecidos vivos, ou seja:
Substituindo na fórmula:
Novamente, podemos cancelar dos dois lados:

Passo 4

Para resolver para , vamos tomar o logaritmo natural dos dois lados:
Sabendo que , temos:
Agora, isolando :

Resposta

A idade do osso fossilizado é aproximadamente 55.800 anos.

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