O método de datação por carbono possibilita estimar a idade de objetos contendo matéria orgânica. No momento da morte de um organismo, sua absorção de Carbono-14 é interrompida, enquanto que a transformação de C-14 em outros átomos ocorre de uma maneira conhecida. Portanto, a idade estimada pode ser deduzida da medida de C-14 restante. O cientista Willard Libby recebeu um Prêmio Nobel pelas contribuições dadas a esse método no final da década de 1940, e o conhecimento das idades de
certos artefatos possui profundos impactos culturais. A quantidade de Carbono-14 restante após
anos é dada por uma função da forma
sendo
e
constantes. Sabendo que a meia-vida do C-14 é de 5.600 anos (isto é, o tempo que leva para que a quantidade de C-14 se reduza pela metade), estime a idade de um osso fossilizado que contém um milésimo do nível de C-14 encontrado em tecidos vivos.
certos artefatos possui profundos impactos culturais. A quantidade de Carbono-14 restante após
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre datação por carbono-14! A gente precisa descobrir a idade de um osso fossilizado usando a quantidade restante de C-14. Para isso, vamos usar a função que descreve como a quantidade de C-14 diminui ao longo do tempo:
onde:
-
é a quantidade de C-14 após anos, -
é a quantidade inicial de C-14, -
é uma constante que vai depender da meia-vida do C-14.
Vamos precisar descobrir o valor de
usando a meia-vida do C-14 e depois usar essa informação para calcular a idade do osso fossilizado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante
usando a meia-vida do carbono-14, que é de 5.600 anos. A meia-vida significa o tempo que leva para a quantidade de C-14 se reduzir pela metade. Então, quando
anos, temos:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
:
Agora, para resolver para
, vamos tomar o logaritmo natural dos dois lados:
Sabendo que
, temos:
Calculando isso:
Passo 3
Agora que temos o valor de
, vamos usar a fórmula original para encontrar a idade do osso fossilizado. Sabemos que o osso contém um milésimo do nível de C-14 encontrado em tecidos vivos, ou seja:
Substituindo na fórmula:
Novamente, podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 4
Para resolver para
, vamos tomar o logaritmo natural dos dois lados:
Sabendo que
, temos:
Agora, isolando
:
Resposta
A idade do osso fossilizado é aproximadamente 55.800 anos.
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Considere a função
. Encontre a imagem de
.
Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita:
(a) Mostre que, se
estiverem na curva, então
também está; isto é, a curva é simétrica em relação à reta
. Onde a curva intercepta essa reta?