Achar o valor de para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o valor de que faz com que a soma da série infinita seja igual a 2. Isso envolve o conteúdo de séries geométricas, que são sequências de números onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos. A série é uma série geométrica infinita onde cada termo é . Numa série geométrica, a soma pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a soma da série, é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa série. O primeiro termo ocorre quando :
A razão é o fator pelo qual multiplicamos um termo para obter o próximo. Observando os termos:
Então, .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da soma da série geométrica infinita:
Sabemos que essa soma deve ser igual a 2:

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Distribuindo o 2:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -4:

Resposta

O valor de que satisfaz a igualdade é .

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