Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o valor de
que faz com que a soma da série infinita
seja igual a 2. Isso envolve o conteúdo de séries geométricas, que são sequências de números onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que temos. A série
é uma série geométrica infinita onde cada termo é
. Numa série geométrica, a soma pode ser calculada usando a fórmula:
onde
é a soma da série,
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa série. O primeiro termo
ocorre quando
:
A razão
é o fator pelo qual multiplicamos um termo para obter o próximo. Observando os termos:
Então,
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da soma da série geométrica infinita:
Sabemos que essa soma deve ser igual a 2:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuindo o 2:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -4:
Resposta
O valor de
que satisfaz a igualdade é
.