Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita sumk=1^infty(2 c)^k-1=2

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o valor de que faz com que a soma da série infinita seja igual a 2. Isso envolve o conteúdo de séries geométricas, que são sequências de números onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que temos. A série S = a11 - r é uma série geométrica infinita onde cada termo é . Numa série geométrica, a soma pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a soma da série, é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos.

Passo 3

Vamos identificar a1 = (2c)^1-1 = (2c)^0 = 1 e a2a1 = (2c)^2-1(2c)^1-1 = 2c1 = 2c na nossa série. O primeiro termo ocorre quando :
A razão é o fator pelo qual multiplicamos um termo para obter o próximo. Observando os termos:
Então, .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da soma da série geométrica infinita:
S = a11 - r = 11 - 2c
Sabemos que essa soma deve ser igual a 2:
11 - 2c = 2

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar 1 = 2(1 - 2c) . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 1 = 2 - 4c para eliminar o denominador:
-1 = -4c
Distribuindo o 2:
c = 14
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -4:

Resposta

O valor de que satisfaz a igualdade é .

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