Seja p um número primo. Considere a função definida por
Prove que é um homomorfismo sobrejetor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função , que basicamente reduz os coeficientes dos polinômios módulo , é um homomorfismo sobrejetor. Isso envolve entender conceitos de álgebra como homomorfismos de anéis e sobrejetividade. Vamos precisar lembrar como essas funções funcionam e como mostrar que preserva as operações de adição e multiplicação, além de cobrir todo o conjunto de chegada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para quaisquer dois polinômios e em , a função deve satisfazer:
e
Vamos verificar essas propriedades para nossa função .

Passo 3

Vamos checar a adição primeiro. Seja e . Então:
Por outro lado:
Como a redução módulo é distributiva sobre a adição, temos para todo . Assim, a propriedade de adição é preservada.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação. Tomemos os mesmos polinômios e . A multiplicação em resulta em:
Aplicando :
Por outro lado:
Como , a propriedade de multiplicação também é preservada.

Passo 5

Com isso, mostramos que é de fato um homomorfismo, pois preserva tanto a adição quanto a multiplicação dos polinômios.

Passo 6

Agora, vamos provar que é sobrejetor, ou seja, que para todo polinômio em , existe um polinômio em que mapeia para ele via .
Tomemos um polinômio arbitrário em . Podemos considerar o polinômio em . Aplicando :
Portanto, todo elemento de tem um “pré-imagem” em , mostrando que é sobrejetor.

Resposta

Assim, provamos que a função é um homomorfismo de anéis que é sobrejetor.

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