Seja p um número primo. Considere a função varphi: Z[x] Zp[x] definida por
varphi(an x^n+an-1 x^n-1+a1 x^1+a0)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0
Prove que varphi é um homomorfismo sobrejetor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função varphi: Z[x] Zp[x], que basicamente reduz os coeficientes dos polinômios módulo p, é um homomorfismo sobrejetor. Isso envolve entender conceitos de álgebra como homomorfismos de anéis e sobrejetividade. Vamos precisar lembrar como essas funções funcionam e como mostrar que varphi preserva as operações de adição e multiplicação, além de cobrir todo o conjunto de chegada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para quaisquer dois polinômios f(x) e g(x) em Z[x], a função varphi deve satisfazer:
varphi(f(x) + g(x)) = varphi(f(x)) + varphi(g(x))
e
varphi(f(x) cdot g(x)) = varphi(f(x)) cdot varphi(g(x))
Vamos verificar essas propriedades para nossa função varphi.

Passo 3

Vamos checar a adição primeiro. Seja f(x) = an x^n + dots + a0 e g(x) = bn x^n + dots + b0. Então:
varphi(f(x) + g(x)) = varphi( (an + bn)x^n + dots + (a0 + b0) ) = an + bnx^n + dots + a0 + b0
Por outro lado:
varphi(f(x)) + varphi(g(x)) = (anx^n + dots + a0) + (bnx^n + dots + b0) = (an + bn)x^n + dots + (a0 + b0)
Como a redução módulo p é distributiva sobre a adição, temos ai + bi = ai + bi para todo i. Assim, a propriedade de adição é preservada.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação. Tomemos os mesmos polinômios f(x) e g(x). A multiplicação em Z[x] resulta em:
f(x) cdot g(x) = sumk=0^2n ( sumi=0^k ai bk-i ) x^k
Aplicando varphi:
varphi(f(x) cdot g(x)) = sumk=0^2n sumi=0^k ai bk-i x^k = sumk=0^2n ( sumi=0^k ai bk-i ) x^k
Por outro lado:
varphi(f(x)) cdot varphi(g(x)) = ( sumi=0^n ai x^i ) cdot ( sumj=0^n bj x^j ) = sumk=0^2n ( sumi=0^k ai bk-i ) x^k
Como ai bk-i = ai cdot bk-i, a propriedade de multiplicação também é preservada.

Passo 5

Com isso, mostramos que varphi é de fato um homomorfismo, pois preserva tanto a adição quanto a multiplicação dos polinômios.

Passo 6

Agora, vamos provar que varphi é sobrejetor, ou seja, que para todo polinômio em Zp[x], existe um polinômio em Z[x] que mapeia para ele via varphi.
Tomemos um polinômio arbitrário h(x) = cnx^n + dots + c0 em Zp[x]. Podemos considerar o polinômio f(x) = cn x^n + dots + c0 em Z[x]. Aplicando varphi:
varphi(f(x)) = cnx^n + dots + c0 = h(x)
Portanto, todo elemento de Zp[x] tem um “pré-imagem” em Z[x], mostrando que varphi é sobrejetor.

Resposta

Assim, provamos que a função varphi é um homomorfismo de anéis que é sobrejetor.

Exercícios relacionados