Seja p um número primo. Considere a função definida por
Prove que varphi é um homomorfismo sobrejetor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função varphi: Z[x] Zp[x], que basicamente reduz os coeficientes dos polinômios módulo p, é um homomorfismo sobrejetor. Isso envolve entender conceitos de álgebra como homomorfismos de anéis e sobrejetividade. Vamos precisar lembrar como essas funções funcionam e como mostrar que varphi preserva as operações de adição e multiplicação, além de cobrir todo o conjunto de chegada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de anéis. É uma função entre dois anéis que preserva as operações de adição e multiplicação. Ou seja, para quaisquer dois polinômios f(x) e g(x) em Z[x], a função varphi deve satisfazer: