Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. d) ( ) Seja K um corpo e f(x), g(x) in K[x]. Se f(x) e g(x) são irredutíveis em K[x] => mdc(f(x), g(x)) = 1

Passo 1

Então, a gente tem um corpo K e dois polinômios f(x) e g(x) que são irredutíveis em K[x]. A afirmação diz que, se esses dois polinômios são irredutíveis, então o máximo divisor comum (mdc) entre eles é 1. Vamos usar conceitos de álgebra de polinômios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio irredutível em K[x] é aquele que não pode ser fatorado em polinômios de grau menor que ele, exceto por unidades (como constantes diferentes de zero no corpo K).

Passo 3

Agora, o mdc de dois polinômios é o maior polinômio que divide ambos. Se f(x) e g(x) são irredutíveis, o mdc entre eles pode ser somente 1 ou um polinômio constante, porque, sendo irredutíveis, eles não compartilham fatores não constantes.

Passo 4

Para que o mdc seja diferente de 1, f(x) e g(x) precisariam ter um fator comum não trivial. Mas como ambos são irredutíveis, isso só seria possível se um fosse múltiplo do outro. Se esse caso não acontecer, o mdc é 1.

Passo 5

Então, se assumirmos que f(x) e g(x) são dois polinômios irredutíveis diferentes, eles não têm fatores comuns além de constantes, tornando o mdc igual a 1.

Resposta

Verdadeiro. Se f(x) e g(x) são irredutíveis em K[x] e diferentes, então o máximo divisor comum deles é 1.

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