Verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta. d) ( ) Seja
um corpo e
. Se
e
são irredutíveis em
Passo 1
Então, a gente tem um corpo
e dois polinômios
e
que são irredutíveis em
. A afirmação diz que, se esses dois polinômios são irredutíveis, então o máximo divisor comum (mdc) entre eles é 1. Vamos usar conceitos de álgebra de polinômios para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um polinômio ser irredutível. Um polinômio irredutível em
é aquele que não pode ser fatorado em polinômios de grau menor que ele, exceto por unidades (como constantes diferentes de zero no corpo
).
Passo 3
Agora, o mdc de dois polinômios é o maior polinômio que divide ambos. Se
e
são irredutíveis, o mdc entre eles pode ser somente 1 ou um polinômio constante, porque, sendo irredutíveis, eles não compartilham fatores não constantes.
Passo 4
Para que o mdc seja diferente de 1,
e
precisariam ter um fator comum não trivial. Mas como ambos são irredutíveis, isso só seria possível se um fosse múltiplo do outro. Se esse caso não acontecer, o mdc é 1.
Passo 5
Então, se assumirmos que
e
são dois polinômios irredutíveis diferentes, eles não têm fatores comuns além de constantes, tornando o mdc igual a 1.
Resposta
Verdadeiro. Se
e
são irredutíveis em
e diferentes, então o máximo divisor comum deles é 1.
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.