Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty n^22 n-1-n^22 n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita juntos! O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty (n^22n -1 - n^22n +1) converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas e vamos precisar usar o Teste da Divergência para descobrir o comportamento dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
n^22n -1 - n^22n +1
Vamos colocar as frações com denominadores comuns para facilitar a simplificação.

Passo 3

Fazendo as contas:
n^22n -1 - n^22n +1 = n^2 ( 12n -1 - 12n +1 )
= n^2 ( 2n +1 - (2n -1)(2n -1)(2n +1) )
= n^2 ( 24n^2 -1 )
= 2n^24n^2 -1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite do termo geral quando limn to infty 2n^24n^2 -1 = limn to infty 24 - 1n^2 = 24 = 12 tende ao infinito:

Passo 5

Segundo o Teste da Divergência, se o limite do termo geral não for zero, a série diverge. Como nesse caso o limite foi , que não é zero, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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