Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde precisamos encontrar o valor de
que faz com que a soma da série infinita
seja igual a 2. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas para resolver isso. Precisaremos lembrar como funciona a soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é
. Podemos reescrever isso para se parecer com a fórmula padrão da série geométrica.
Passo 3
Vamos reescrever a série para facilitar a identificação de
e
:
Agora fica claro que:
-
(primeiro termo), -
(razão da série).
Passo 4
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita
é dada por:
Mas isso só vale se
. No nosso caso, queremos que a soma
seja igual a 2. Vamos substituir os valores:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o 2:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por -4:
Resposta
O valor de
que satisfaz a igualdade é
.