Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita sumk=1^infty(2 c)^k-1=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde precisamos encontrar o valor de que faz com que a soma da série infinita seja igual a 2. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas para resolver isso. Precisaremos lembrar como funciona a soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumk=0^infty ar^k
onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é . Podemos reescrever isso para se parecer com a fórmula padrão da série geométrica.

Passo 3

Vamos reescrever a série para facilitar a identificação de sumk=1^infty(2c)^k-1 = sumk=0^infty(2c)^k e :
Agora fica claro que:
  • (primeiro termo),
  • (razão da série).

Passo 4

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita S = a1 - r é dada por:
2 = 11 - 2c
Mas isso só vale se . No nosso caso, queremos que a soma seja igual a 2. Vamos substituir os valores:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 2 = 11 - 2c :
2(1 - 2c) = 1
Multiplicando ambos os lados por 2 - 4c = 1 :
-4c = -1
Distribuindo o 2:
c = 14
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por -4:

Resposta

O valor de que satisfaz a igualdade é .

Exercícios relacionados