Achar o valor de para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde precisamos encontrar o valor de que faz com que a soma da série infinita seja igual a 2. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas para resolver isso. Precisaremos lembrar como funciona a soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série é . Podemos reescrever isso para se parecer com a fórmula padrão da série geométrica.

Passo 3

Vamos reescrever a série para facilitar a identificação de e :
Agora fica claro que:
  • (primeiro termo),
  • (razão da série).

Passo 4

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Mas isso só vale se . No nosso caso, queremos que a soma seja igual a 2. Vamos substituir os valores:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o 2:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por -4:

Resposta

O valor de que satisfaz a igualdade é .

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Os três sobrinhos Huguinho, Zezinho e Luisinho têm uma maçã e querem dividi-la. Seu Tío Patinhas McPato propõe para eles dividir a maçã em quatro partes iguais e que cada um fique com um pedaço, e o pedaço restante novamente dividi-lo em quatro partes iguais e que cada um fique com um pedaço e assim por diante. Mostre que cada um deles receberá a terceira parte da maçã.
Plote as seguintes retas:
Plote as seguintes retas:
Plote as seguintes retas: