Os três sobrinhos Huguinho, Zezinho e Luisinho têm uma maçã e querem dividi-la. Seu Tío Patinhas McPato propõe para eles dividir a maçã em quatro partes iguais e que cada um fique com um pedaço, e o pedaço restante novamente dividi-lo em quatro partes iguais e que cada um fique com um pedaço e assim por diante. Mostre que cada um deles receberá a terceira parte da maçã.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos três sobrinhos — Huguinho, Zezinho e Luisinho — que querem dividir uma maçã. O tio propõe dividir a maçã em quatro partes iguais, cada sobrinho fica com um pedaço, e o pedaço restante é dividido novamente da mesma forma, e assim por diante. O objetivo é provar que cada sobrinho recebe um terço da maçã.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com séries infinitas e divisão proporcional.
O que vamos precisar: Entender como somar uma série geométrica para calcular a soma total recebida por cada sobrinho.

Passo 2

Vamos iniciar dividindo a maçã. A maçã inteira representa 1 (ou 100%).
No primeiro corte, dividimos a maçã em 4 partes iguais:
Cada sobrinho recebe um pedaço de , e sobra .

Passo 3

Agora, vamos dividir o pedaço que sobrou ( ) novamente em 4 partes iguais:
Cada sobrinho recebe mais um pedaço de , e sobra .

Passo 4

Continuamos esse processo infinitamente. Na terceira divisão, o pedaço que sobrou ( ) é dividido em 4 partes iguais:
Cada sobrinho recebe mais um pedaço de , e assim por diante.

Passo 5

Para encontrar a soma total que cada sobrinho recebe, somamos todas as frações que eles obtêm em cada divisão:
Essa é uma série geométrica infinita onde o primeiro termo e a razão .

Passo 6

A soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula:
Substituindo e :
Portanto, cada sobrinho recebe da maçã.

Resposta

Cada sobrinho recebe um terço da maçã.

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Plote as seguintes elipses:
Achar o valor de para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita .
Plote as seguintes retas: