Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita
sumk=1^infty(2 c)^k-1=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de que faz com que a soma da série infinita seja igual a 2. Vamos usar conceitos de séries geométricas para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.

Passo 3

Em uma série geométrica infinita, a soma pode ser calculada usando a fórmula:
S = a11 - r
Onde:
  • é a soma da série.
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série.

Passo 4

Vamos identificar a1 = (2c)^1-1 = (2c)^0 = 1 e r = 2c na nossa série:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da soma da série geométrica:
S = 11 - 2c
Sabemos que 11 - 2c = 2 , então temos:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar 1 = 2(1 - 2c) :
1 = 2 - 4c
-1 = -4c
c = 14

Resposta

O valor de que satisfaz a igualdade da série é .

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