Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumn=1^infty 3^2 n(-6)^4-n

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita para analisar:
sumn=1^infty 3^2 n(-6)^4-n
O conteúdo aqui é sobre séries geométricas e convergência. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão geral da série e verificar se ela converge ou diverge usando os critérios das séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série:
3^2n(-6)^4-n
Sabemos que 9^n1296 cdot (-6)^-n = 9^n cdot (-6)^n1296 = (9 cdot -6)^n1296 = (-54)^n1296 e sumn=1^infty (-54)^n1296. Então, substituindo na expressão:
Então, nossa série fica:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a série de uma forma que a gente reconheça facilmente:
11296 sumn=1^infty (-54)^n
Perceba que 11296 sumn=1^infty (-54)^n é uma constante que podemos fatorar, ficando:
Essa estrutura se assemelha a uma série geométrica da forma , onde é a razão da série.

Passo 4

Para uma série geométrica |r| = |-54| = 54, a série converge se e diverge se .
No nosso caso, a razão é .
Calculando o valor absoluto de :

Passo 5

Como , de acordo com o critério das séries geométricas, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumn=1^infty 1raizn ln (n)
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
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