Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita para analisar:
O conteúdo aqui é sobre séries geométricas e convergência. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão geral da série e verificar se ela converge ou diverge usando os critérios das séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série:
Sabemos que
e
. Então, substituindo na expressão:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a série de uma forma que a gente reconheça facilmente:
Perceba que
é uma constante que podemos fatorar, ficando:
Essa estrutura se assemelha a uma série geométrica da forma
, onde
é a razão da série.
Passo 4
Para uma série geométrica
, a série converge se
e diverge se
.
No nosso caso, a razão
é
.
Calculando o valor absoluto de
:
Passo 5
Como
, de acordo com o critério das séries geométricas, a série diverge.
Resposta
A série é divergente.
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