Resolva a equação diferencial a seguir sujeita às condições iniciais indicadas, usando transformada de Laplace. (2pts)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais
e
. Vamos usar a transformada de Laplace, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais lineares. Para isso, precisamos lembrar das propriedades da transformada de Laplace e das transformadas de funções derivadas.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Usando as propriedades da transformada para derivadas, temos:
onde
.
Passo 3
Substituímos as condições iniciais
e
na equação:
Fatoramos
:
Passo 4
Isolamos
:
Agora, vamos fazer a decomposição de frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a aplicação da transformada inversa.
Passo 5
Após a decomposição de frações parciais e simplificação, obtemos:
Simplificando ainda mais:
Passo 6
Aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
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Achar o valor de
para que a igualdade das seguintes séries seja satisfeita