Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumn=2^infty(-4)^n-2 5^4-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série sumn=2^infty(-4)^n-2 5^4-n converge ou diverge. Se ela converge, a gente também precisa calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo constante do anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para deixar mais claro o que estamos lidando. O termo geral é (-4)^n-2 5^4-n. Podemos reescrever isso assim:
(-4)^n-2 times 5^4-n = (-4)^n(-4)^2 times 5^45^n = (-4)^n16 times 6255^n
Simplificando mais, temos:
62516 times (-45)^n
Então, a série fica:
sumn=2^infty 62516 (-45)^n

Passo 3

Agora que a gente identificou que é uma série geométrica, vamos lembrar que uma série geométrica tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum. Para que essa série convirja, precisamos que o valor absoluto da razão |r| seja menor que 1.

Passo 4

No nosso caso, a razão r é -45. Vamos calcular o valor absoluto:
|r| = |-45| = 45 = 0,8
Como 0,8 < 1, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série. Como a série começa no n=2, precisamos ajustar a fórmula da soma da série geométrica, que normalmente começa em n=0. A soma de uma série geométrica que começa em n=k é dada por:
S = ar^k1 - r
No nosso caso, a = 62516, r = -45 e k=2. Então:
S = 62516 (-45)^21 - (-45) = 62516 times 16251 + 45 = 625 times 1625 times 11695 = 62525 times 59 = 25 times 59 = 1259

Resposta

A série sumn=2^infty(-4)^n-2 5^4-n converge e a soma dela é 1259.

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