Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Se ela converge, a gente também precisa calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo constante do anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para deixar mais claro o que estamos lidando. O termo geral é . Podemos reescrever isso assim:
Simplificando mais, temos:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora que a gente identificou que é uma série geométrica, vamos lembrar que uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão comum. Para que essa série convirja, precisamos que o valor absoluto da razão seja menor que 1.
Passo 4
No nosso caso, a razão é . Vamos calcular o valor absoluto:
Como 0,8 < 1, a série converge.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma da série. Como a série começa no n=2, precisamos ajustar a fórmula da soma da série geométrica, que normalmente começa em n=0. A soma de uma série geométrica que começa em n=k é dada por:
S = ar^k1 - r
No nosso caso, a = 62516, r = -45 e k=2. Então:
S = 62516 (-45)^21 - (-45) = 62516 times 16251 + 45 = 625 times 1625 times 11695 = 62525 times 59 = 25 times 59 = 1259
Resposta
A série sumn=2^infty(-4)^n-2 5^4-nconverge e a soma dela é 1259.