Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de de modo que a integral
seja convergente, e depois calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre convergência de integrais impróprias e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quando essa integral converge. Olhando para os termos da função dentro da integral, é importante analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e quando tende a zero.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento quando tende ao infinito. Isso nos ajuda a determinar o valor de que faz a integral convergir.
Para grande, temos aproximadamente:
e
Então, a função dentro da integral para grande fica aproximadamente:
Agora, sabemos que a integral de de 1 até infinito diverge (é uma integral harmônica). Para que a nossa integral convirja, o coeficiente de deve ser zero:
Passo 4
Agora que encontramos , podemos calcular o valor da integral com esse valor de .
Substituindo na integral original:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim:
Segunda integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes e avaliando nos limites de 0 a infinito:
Primeiro, avaliamos quando limx to infty ( 14 ln(1 + x^2) - 12 ln(1 + 2x) ) = 14 cdot 2 ln x - 12 ln(2x) = 12 ln x - 12 ln x - 12 ln 2 = -12 ln 2 tende ao infinito:
14 ln(1 + 0) - 12 ln(1 + 0) = 0 - 0 = 0
Agora, avaliando quando :
Resposta
A integral converge para e o valor da integral é .