Achar o valor de c in R para que a integral
integral0^infty(c x1+x^2-11+2 x) d x
seja convergente, e calcule o valor da integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de integral0^infty(c x1+x^2 - 11+2 x) d x de modo que a integral
seja convergente, e depois calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre convergência de integrais impróprias e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quando essa integral converge. Olhando para os termos da função dentro da integral, é importante analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e quando tende a zero.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento quando c x1 + x^2 approx c xx^2 = cx tende ao infinito. Isso nos ajuda a determinar o valor de 11 + 2x approx 12x que faz a integral convergir.
Para cx - 12x = (c - 12) 1x grande, temos aproximadamente:
c - 12 = 0 Rightarrow c = 12
e
Então, a função dentro da integral para grande fica aproximadamente:
Agora, sabemos que a integral de de 1 até infinito diverge (é uma integral harmônica). Para que a nossa integral convirja, o coeficiente de deve ser zero:

Passo 4

Agora que encontramos integral0^infty(12 x1+x^2 - 11+2 x) d x = 12 integral0^infty x1 + x^2 dx - integral0^infty 11 + 2x dx , podemos calcular o valor da integral com esse valor de .
Substituindo na integral original:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
12 integral x1 + x^2 dx
Fazendo a substituição 12 integral x1 + x^2 dx = 14 integral duu = 14 ln|u| + C = 14 ln(1 + x^2) + C , temos integral 11 + 2x dx , ou seja, integral 11 + 2x dx = 12 integral dvv = 12 ln|v| + C = 12 ln(1 + 2x) + C . Assim:
  1. Segunda integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes e avaliando nos limites de 0 a infinito:
14 ln(1 + x^2) - 12 ln(1 + 2x) gr|0^infty
Primeiro, avaliamos quando limx to infty ( 14 ln(1 + x^2) - 12 ln(1 + 2x) ) = 14 cdot 2 ln x - 12 ln(2x) = 12 ln x - 12 ln x - 12 ln 2 = -12 ln 2 tende ao infinito:
14 ln(1 + 0) - 12 ln(1 + 0) = 0 - 0 = 0
Agora, avaliando quando :

Resposta

A integral converge para e o valor da integral é .

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