Achar o valor de para que a integral
seja convergente, e calcule o valor da integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar o valor de de modo que a integral
seja convergente, e depois calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre convergência de integrais impróprias e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quando essa integral converge. Olhando para os termos da função dentro da integral, é importante analisar o comportamento da função quando tende ao infinito e quando tende a zero.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento quando tende ao infinito. Isso nos ajuda a determinar o valor de que faz a integral convergir.
Para grande, temos aproximadamente:
e
Então, a função dentro da integral para grande fica aproximadamente:
Agora, sabemos que a integral de de 1 até infinito diverge (é uma integral harmônica). Para que a nossa integral convirja, o coeficiente de deve ser zero:

Passo 4

Agora que encontramos , podemos calcular o valor da integral com esse valor de .
Substituindo na integral original:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim:
  1. Segunda integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Assim:

Passo 6

Agora, juntando as duas partes e avaliando nos limites de 0 a infinito:
Primeiro, avaliamos quando tende ao infinito:
Agora, avaliando quando :

Resposta

A integral converge para e o valor da integral é .

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Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
a) ;
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