Calcule integral cos 3 x raiz[3]sen 3 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral cos 3x raiz[3]sin 3x , dx. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que raiz[3]sin 3x é o mesmo que (sin 3x)^1/3. Então, nossa integral fica:
integral cos 3x cdot (sin 3x)^1/3 , dx

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de substituição. Para isso, escolhemos uma parte da integral para substituir por uma nova variável, geralmente algo que facilite a integral. Vamos deixar:
u = sin 3x
Então, precisamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 3cos 3x
Isso significa que:
du = 3cos 3x , dx Rightarrow cos 3x , dx = du3

Passo 4

Substituindo u e cos 3x , dx na integral original, temos:
integral cos 3x cdot (sin 3x)^1/3 , dx = integral (sin 3x)^1/3 cdot du3 = 13 integral u^1/3 , du
Agora, vamos integrar u^1/3 em relação a u. A regra de integração para potências é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
13 integral u^1/3 , du = 13 cdot u^4/34/3 = 14 u^4/3 + C

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original x. Lembrando que u = sin 3x, substituímos de volta:
14 u^4/3 + C = 14 (sin 3x)^4/3 + C

Resposta

A integral de cos 3x raiz[3]sin 3x , dx é:
14 (sin 3x)^4/3 + C
Onde C é a constante de integração.

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