Calcule integral 1raizx(raizx+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais usando substituição, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso ajuda a lidar com o termo no denominador.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 12 x^-1/2 em relação a du = 12 raizx , dx Rightarrow dx = 2 raizx , du para encontrar . Sabemos que , então:
Isso pode ser rearranjado para:

Passo 4

Vamos substituir integral 1raizx(u)^3 cdot 2 raizx , du = 2 integral 1u^3 , du e na integral original usando :
Observe que se cancela, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
2 integral u^-3 , du
Vamos integrar . A integral de é , desde que .

Passo 6

Aplicando a regra de integração:
2 cdot ( u^-2-2 ) + C = -u^-2 + C = -1u^2 + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original -1(raizx + 1)^2 + C . Lembrando que , temos:

Resposta

A integral é igual a .

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