Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais lineares e usaremos métodos específicos para encontrar a solução completa. Precisaremos encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso significa que ignoramos o termo não homogêneo (o ) e focamos na parte igual a zero.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo não homogêneo é um polinômio de primeiro grau ( ), vamos supor uma solução particular da forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Derivando :
Substituindo na equação completa:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos iguais:
Para os termos com :
Para os termos constantes:

Passo 9

Então, a solução particular é:

Passo 10

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 11

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: :

Passo 12

Segunda condição: .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Aplicando :

Passo 13

Agora, temos um sistema de equações:
Subtraindo (1) de (2):
Substituindo na equação (1):

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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