Encontre a solução dos problemas de valor inicial abaixo:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais lineares e usaremos métodos específicos para encontrar a solução completa. Precisaremos encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso significa que ignoramos o termo não homogêneo (o
) e focamos na parte igual a zero.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo não homogêneo é um polinômio de primeiro grau (
), vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Derivando
:
Substituindo na equação completa:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos iguais:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 11
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
:
Passo 12
Segunda condição:
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Aplicando
:
Passo 13
Agora, temos um sistema de equações:
Subtraindo (1) de (2):
Substituindo
na equação (1):
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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2.
2.