Achar o valor máximo e o valor mínimo que a função f(x, y) = x + 2y + 1 assume na região fechada A = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}
Resp.: O máximo é f(0, 1) = 3 e o mínimo f(0,0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor máximo e mínimo que a função assume na região fechada . Isso envolve entender funções de duas variáveis e restrições de região. Vamos precisar usar conceitos de análise de máximos e mínimos em funções multivariáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é definida por três condições:
  1. : isso significa que estamos no lado direito do eixo .
  2. : estamos acima do eixo .
  3. : é uma reta que corta os eixos e no ponto 1.
Então, é um triângulo no primeiro quadrante com vértices em , e .

Passo 3

Agora, para achar os valores máximo e mínimo da função nessa região, vamos verificar os valores da função nos vértices do triângulo. Isso porque, em regiões fechadas e limitadas como essa, os extremos absolutos (máximo e mínimo) geralmente ocorrem nas bordas ou nos vértices.

Passo 4

Vamos calcular o valor de em cada vértice:
  1. No ponto :
  2. No ponto :
  3. No ponto :

Passo 5

Comparando os valores obtidos:
O menor valor é 1 e o maior valor é 3.

Resposta

O máximo é e o mínimo é .

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