Determine se a sequência {a_n}_{n in N} converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(f) a_n = cos(n) / 2^n. (converge para 0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a sequência converge ou diverge, onde cada termo é dado por . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como funções trigonométricas e exponenciais se comportam. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da sequência: o numerador e o denominador .
  • : A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja, .
  • : Essa é uma função exponencial que cresce muito rápido conforme aumenta. Para grande, fica cada vez maior.

Passo 3

Agora, vamos juntar essas observações para entender o comportamento de .
Como está sempre entre -1 e 1, podemos afirmar que:
Ou seja, está entre e .

Passo 4

Sabemos que . Isso porque, à medida que cresce, fica tão grande que se aproxima cada vez mais de zero.
Da mesma forma, .

Passo 5

Usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), se uma sequência está “apertada” entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite, então também converge para esse limite.
Aqui, está entre e , ambos convergindo para 0. Portanto, pelo Teorema do Confronto, também converge para 0.

Resposta

A sequência converge para 0.

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