Determine se a sequência
converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(f)
. (converge para 0
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a sequência
converge ou diverge, onde cada termo é dado por
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como funções trigonométricas e exponenciais se comportam. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da sequência: o numerador
e o denominador
.
-
: A função cosseno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja, . -
: Essa é uma função exponencial que cresce muito rápido conforme aumenta. Para grande, fica cada vez maior.
Passo 3
Agora, vamos juntar essas observações para entender o comportamento de
.
Como
está sempre entre -1 e 1, podemos afirmar que:
Ou seja,
está entre
e
.
Passo 4
Sabemos que
. Isso porque, à medida que
cresce,
fica tão grande que
se aproxima cada vez mais de zero.
Da mesma forma,
.
Passo 5
Usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto), se uma sequência
está “apertada” entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite, então
também converge para esse limite.
Aqui,
está entre
e
, ambos convergindo para 0. Portanto, pelo Teorema do Confronto,
também converge para 0.
Resposta
A sequência
converge para 0.