Determine se a série converge ou diverge:
(f)
. (série telescópica divergente.)
(f)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a série infinita
converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries telescópicas, que são aquelas cujos termos se cancelam de forma que a soma fica mais simples de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Em uma série telescópica, ao somarmos os termos, muitos deles se cancelam, facilitando a obtenção da soma parcial. Isso acontece porque cada termo contém uma parte que elimina uma parte do termo seguinte.
Passo 3
Vamos expandir os primeiros termos da série para identificar o padrão de cancelamento:
Passo 4
Observando a soma dos logaritmos, podemos utilizar a propriedade
para simplificar:
Perceba que muitos termos se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da soma parcial conforme
tende ao infinito:
Como
tende a
, isso indica que a soma parcial não converge para um valor finito.
Resposta
A série
diverge.