Determine se a série converge ou diverge:
(f) sumn=1^infty log (nn+1). (série telescópica divergente.)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a série infinita converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries telescópicas, que são aquelas cujos termos se cancelam de forma que a soma fica mais simples de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Em uma série telescópica, ao somarmos os termos, muitos deles se cancelam, facilitando a obtenção da soma parcial. Isso acontece porque cada termo contém uma parte que elimina uma parte do termo seguinte.

Passo 3

Vamos expandir os primeiros termos da série para identificar o padrão de cancelamento:
S1 &= log(12) S2 &= log(12) + log(23) S3 &= log(12) + log(23) + log(34) &vdots Sn &= log(12) + log(23) + dots + log(nn+1)

Passo 4

Observando a soma dos logaritmos, podemos utilizar a propriedade Sn = log(12 times 23 times 34 times dots times nn+1) para simplificar:
Sn = log(1n+1)
Perceba que muitos termos se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da soma parcial conforme limn to infty Sn = limn to infty log(1n+1) = log(limn to infty 1n+1) = log(0) tende ao infinito:
Como tende a , isso indica que a soma parcial não converge para um valor finito.

Resposta

A série diverge.

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