Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
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. (a sequência diverge e a série diverge.)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência e uma série definidas por
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge e, em seguida, fazer o mesmo para a série correspondente
. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de limites para sequências e testes de convergência para séries.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Para ver se a sequência converge ou diverge, precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Aqui, observamos que
é uma constante maior que 1, já que
e
. Quando temos uma base maior que 1 elevada a uma potência que vai para o infinito, o resultado também vai para o infinito:
Como o limite é infinito, dizemos que a sequência diverge.
Passo 3
Agora, vamos para a série
. Para determinar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Série Geométrica. Esse teste é aplicável porque a série é geométrica, ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante
.
A série geral é:
Aqui, a razão
, que é maior que 1. O Teste da Série Geométrica nos diz que:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
Como
, concluímos que a série diverge.
Outra forma de ver isso é pelo Teste da Divergência, que afirma que se o limite de
não for zero, a série diverge. Já vimos que
, então a série definitivamente diverge.
Resposta
A sequência
diverge e a série
também diverge.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência
converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(f) . (converge para 0
(f)
Dados os pontos
e
, e a função
, calcular o ângulo
formado pelos vetores
e
Achar o valor máximo e o valor mínimo que a função
assume na região fechada
Resp.: O máximo é e o mínimo
.
Resp.: O máximo é
Determine se a série converge ou diverge:
(f) . (série telescópica divergente.)
(f)