Determine se a sequência ann in N converge ou diverge e se a série sumn=1^infty an converge ou diverge.
© an=pi^n3^n. (a sequência diverge e a série diverge.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma sequência e uma série definidas por . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge e, em seguida, fazer o mesmo para a série correspondente . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de limites para sequências e testes de convergência para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência limn to infty an = limn to infty ( pi3 )^n . Para ver se a sequência converge ou diverge, precisamos calcular o limite quando limn to infty ( pi3 )^n = infty tende ao infinito:
Aqui, observamos que é uma constante maior que 1, já que e . Quando temos uma base maior que 1 elevada a uma potência que vai para o infinito, o resultado também vai para o infinito:
Como o limite é infinito, dizemos que a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos para a série sumn=1^infty ( pi3 )^n . Para determinar se a série converge ou diverge, podemos usar o Teste da Série Geométrica. Esse teste é aplicável porque a série é geométrica, ou seja, cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante .
A série geral é:
Aqui, a razão , que é maior que 1. O Teste da Série Geométrica nos diz que:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Como , concluímos que a série diverge.
Outra forma de ver isso é pelo Teste da Divergência, que afirma que se o limite de não for zero, a série diverge. Já vimos que , então a série definitivamente diverge.

Resposta

A sequência diverge e a série também diverge.

Exercícios relacionados