Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais e da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e regra da cadeia. Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função. Observe que é uma função composta, onde temos uma função externa elevada ao cubo e uma função interna dentro dos parênteses. Vamos chamar a função interna de :
Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que:
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos . Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, multiplicamos as duas derivadas que encontramos para obter :
Mas lembrando que , podemos substituir de volta:

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Primeiro, usando a regra da cadeia:
Já sabemos que . Agora, calculamos :

Passo 6

Multiplicando as duas derivadas para obter :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Determine se a série converge ou diverge:
(f) . (série telescópica divergente.)
Achar o valor máximo e o valor mínimo que a função assume na região fechada
Resp.: O máximo é e o mínimo .
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
h)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
a)