Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais
e
da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e regra da cadeia. Vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte interna da função. Observe que
é uma função composta, onde temos uma função externa elevada ao cubo e uma função interna dentro dos parênteses. Vamos chamar a função interna de
:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que:
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Agora, multiplicamos as duas derivadas que encontramos para obter
:
Mas lembrando que
, podemos substituir de volta:
Passo 5
Vamos repetir o mesmo processo para encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, usando a regra da cadeia:
Já sabemos que
. Agora, calculamos
:
Passo 6
Multiplicando as duas derivadas para obter
:
Substituindo
de volta:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge:
(f) . (série telescópica divergente.)
(f)
Achar o valor máximo e o valor mínimo que a função
assume na região fechada
Resp.: O máximo é e o mínimo
.
Resp.: O máximo é
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
h)
h)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
a)
a)