Achar os valores e os vetores próprios do operador T dado por:
a) T(x, y)=(x+y, x-y)
b) T(x, y)=(-x,-y)
c) T(1,0)=(0,-1) e T(0,1)=(1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos pede para encontrar os valores próprios e os vetores próprios de diferentes operadores lineares . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz do operador , encontrar seu determinante para a equação característica e, em seguida, determinar os vetores próprios correspondentes.

Passo 2

Parte a): T x y = x + y x - y
Primeiro, vamos representar o operador A = 1 & 1 1 & -1 como uma matriz. A transformação dada é:
det(A - lambda I) = 0
Então, a matriz de det 1 - lambda & 1 1 & -1 - lambda = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (1)(1) = (lambda^2 - 0lambda -1) -1 = lambda^2 -2 =0 é:
lambda = raiz2 e lambda = -raiz2
Para encontrar os valores próprios, resolvemos a equação característica:
(A - raiz2 I) x y = 0 Rightarrow 1 - raiz2 & 1 1 & -1 - raiz2 x y = 0 0
Onde v = raiz2 -1 1 é a matriz identidade e (A + raiz2 I) x y = 0 Rightarrow 1 + raiz2 & 1 1 & -1 + raiz2 x y = 0 0 são os valores próprios.
Calculando:
v = -raiz2 -1 1
Resolvendo , temos:
Agora, para cada valor próprio, encontramos o vetor próprio correspondente.
Para :
Resolvendo, obtemos a relação . Então, um vetor próprio é:
Para :
Resolvendo, obtemos a relação . Então, um vetor próprio é:

Passo 3

Parte b): A = -1 & 0 0 & -1
Vamos montar a matriz de det(A - lambda I) = det -1 - lambda & 0 0 & -1 - lambda = (-1 - lambda)^2 =0 :
lambda = -1
Para encontrar os valores próprios, resolvemos:
(A + I) x y = 0 Rightarrow 0 & 0 0 & 0 x y = 0 0
A única solução é:
v = x y , x e y não ambos zero
Agora, encontramos os vetores próprios para :
Isso significa que qualquer vetor não nulo é um vetor próprio. Portanto, os vetores próprios são todos os vetores não nulos do plano, ou seja:
ã

Passo 4

Parte c): A = 0 & 1 -1 & 0 e det(A - lambda I) = det -lambda & 1 -1 & -lambda = lambda^2 +1 =0
Primeiro, vamos construir a matriz de lambda = i e lambda = -i com base nas imagens dadas:
(A - i I) x y = -i & 1 -1 & -i x y = 0 0
Agora, encontramos os valores próprios resolvendo a equação característica:
v = i 1
Resolvendo (A + i I) x y = i & 1 -1 & i x y = 0 0 , obtemos:
v = -i 1
onde é a unidade imaginária.
Agora, encontramos os vetores próprios para cada valor próprio.
Para :
Resolvendo, obtemos . Então, um vetor próprio é:
Para :
Resolvendo, obtemos . Então, um vetor próprio é:

Resposta

a)
Valores próprios: raiz2 -1 1 e -raiz2 -1 1
Vetores próprios: x y e i 1
b)
Valor próprio: -i 1
Vetores próprios: Todos os vetores não nulos , onde e não são ambos zero.
c)
Valores próprios: e
Vetores próprios: e

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