Achar os valores e os vetores próprios do operador
dado por:
a)
b)
c)
e
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta nos pede para encontrar os valores próprios e os vetores próprios de diferentes operadores lineares
. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz do operador
, encontrar seu determinante para a equação característica e, em seguida, determinar os vetores próprios correspondentes.
Passo 2
Parte a):
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. A transformação dada é:
Então, a matriz de
é:
Para encontrar os valores próprios, resolvemos a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
são os valores próprios.
Calculando:
Resolvendo
, temos:
Agora, para cada valor próprio, encontramos o vetor próprio correspondente.
Para
:
Resolvendo, obtemos a relação
. Então, um vetor próprio é:
Para
:
Resolvendo, obtemos a relação
. Então, um vetor próprio é:
Passo 3
Parte b):
Vamos montar a matriz de
:
Para encontrar os valores próprios, resolvemos:
A única solução é:
Agora, encontramos os vetores próprios para
:
Isso significa que qualquer vetor não nulo é um vetor próprio. Portanto, os vetores próprios são todos os vetores não nulos do plano, ou seja:
Passo 4
Parte c):
e
Primeiro, vamos construir a matriz de
com base nas imagens dadas:
Agora, encontramos os valores próprios resolvendo a equação característica:
Resolvendo
, obtemos:
onde
é a unidade imaginária.
Agora, encontramos os vetores próprios para cada valor próprio.
Para
:
Resolvendo, obtemos
. Então, um vetor próprio é:
Para
:
Resolvendo, obtemos
. Então, um vetor próprio é:
Resposta
a)
Valores próprios: e
Vetores próprios: e
Valores próprios:
Vetores próprios:
b)
Valor próprio:
Vetores próprios: Todos os vetores não nulos , onde
e
não são ambos zero.
Valor próprio:
Vetores próprios: Todos os vetores não nulos
c)
Valores próprios: e
Vetores próprios: e
Valores próprios:
Vetores próprios: