Determine nos itens abaixo se for diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre uma matriz que diagonaliza e determine .
a) ;
b)
c) .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se as matrizes dadas são diagonalizáveis. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz, verificar se há autovalores suficientes e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz que diagonaliza .
a)
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Portanto, os autovalores de são todos iguais a 4.
Passo 3
Como todos os autovalores são iguais a 4, precisamos verificar se a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) é igual à multiplicidade algébrica (quantas vezes o autovalor aparece). A multiplicidade algébrica de 4 é 3.
Vamos encontrar os autovetores resolvendo :
Resolvendo o sistema:
Isso nos dá e , mas pode ser qualquer valor. Portanto, temos apenas um autovetor independente: .
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (3), a matriz não é diagonalizável.
Passo 5
Vamos verificar se a matriz é diagonalizável seguindo os mesmos passos: encontrar os autovalores, verificar a multiplicidade geométrica e, se for o caso, encontrar a matriz .
Passo 6
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o polinômio característico:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são e .
Passo 7
Como temos dois autovalores distintos para uma matriz 2x2, a multiplicidade geométrica de cada é 1, totalizando 2 autovetores linearmente independentes. Isso significa que a matriz é diagonalizável.
Passo 8
Agora, encontramos os autovetores associados a cada autovalor.
Para :
Resolvendo :
Escolhendo , temos . Assim, um autovetor é .
Para :
Resolvendo :
Escolhendo , temos . Assim, um autovetor é .
Passo 9
Agora, formamos a matriz com os autovetores como colunas:
Calculamos :
Passo 10
Vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar os autovalores, verificar a existência de autovetores suficientes e, se possível, encontrar a matriz .
Passo 11
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o polinômio característico:
Expandindo o determinante:
Portanto, os autovalores são com multiplicidade algébrica 2 e com multiplicidade algébrica 1.
Passo 12
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvendo :
Isso resulta em . Escolhendo , temos e livre. Vamos escolher . Então, um autovetor é .
Como a multiplicidade algébrica de 1 é 2, mas temos apenas um autovetor, a multiplicidade geométrica é 1, que é menor que a algébrica. Isso significa que a matriz não é diagonalizável.