Determine nos itens abaixo se for diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre uma matriz que diagonaliza e determine .
a) ;
b) A=(ll2 & 4 3 & 1)
c) A=(ccc1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se as matrizes dadas são diagonalizáveis. Isso está relacionado à álgebra linear, especificamente ao estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz, verificar se há autovalores suficientes e, em caso afirmativo, encontrar uma matriz 4 & 0 & 0 1 & 4 & 0 0 & 1 & 4 que diagonaliza .
a)
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Como é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Portanto, os autovalores de são todos iguais a 4.
Passo 3
Como todos os autovalores são iguais a 4, precisamos verificar se a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) é igual à multiplicidade algébrica (quantas vezes o autovalor aparece). A multiplicidade algébrica de 4 é 3.
Isso nos dá e , mas pode ser qualquer valor. Portanto, temos apenas um autovetor independente: .
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (3), a matriz não é diagonalizável.
Passo 5
Vamos verificar se a matriz é diagonalizável seguindo os mesmos passos: encontrar os autovalores, verificar a multiplicidade geométrica e, se for o caso, encontrar a matriz .
Passo 6
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o polinômio característico:
Como temos dois autovalores distintos para uma matriz 2x2, a multiplicidade geométrica de cada é 1, totalizando 2 autovetores linearmente independentes. Isso significa que a matriz é diagonalizável.
Passo 8
Agora, encontramos os autovetores associados a cada autovalor.
Para A - 5I = -3 & 4 3 & -4 :
-3x1 + 4x2 = 0 Rightarrow x1 = 43x2
Resolvendo 4 3:
A + 2I = 4 & 4 3 & 3
Escolhendo 4x1 + 4x2 = 0 Rightarrow x1 = -x2 , temos -1 1. Assim, um autovetor é .
Para :
Resolvendo :
Escolhendo , temos . Assim, um autovetor é .
Passo 9
Agora, formamos a matriz P = 4 & -1 3 & 1 com os autovetores como colunas:
P^-1AP = 5 & 0 0 & -2
Calculamos :
Passo 10
Vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar os autovalores, verificar a existência de autovetores suficientes e, se possível, encontrar a matriz .
Passo 11
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo o polinômio característico:
Portanto, os autovalores são com multiplicidade algébrica 2 e com multiplicidade algébrica 1.
Passo 12
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para A - I = 0 & -2 & -2 0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 :
-2x2 - 2x3 = 0 0 = 0 2x2 + 2x3 = 0
Resolvendo 1 -1 1:
Isso resulta em . Escolhendo , temos e livre. Vamos escolher . Então, um autovetor é .
Como a multiplicidade algébrica de 1 é 2, mas temos apenas um autovetor, a multiplicidade geométrica é 1, que é menor que a algébrica. Isso significa que a matriz não é diagonalizável.