Considere as seguintes bases do V=R^2, V=R^3 e do V=R^4 dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
B=(1,0),(3,-5)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma base no espaço vetorial . O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender:
  • Produto Interno: Usaremos o produto interno usual em , que é basicamente multiplicar as componentes correspondentes dos vetores e somar.
  • Processo de Gram-Schmidt: Um método para converter uma base qualquer em uma base ortonormal, ou seja, uma base onde todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos nomear nossos vetores para facilitar. Seja e .
O objetivo do Gram-Schmidt é construir uma nova base onde:
  1. é um vetor unitário na direção de .
  2. é um vetor unitário que é perpendicular a .

Passo 3

Vamos começar calculando |v1| = raiz1^2 + 0^2 = raiz1 = 1 . Para isso, normalizamos u1 = v1|v1| = (1, 0)1 = (1, 0) :
Então,

Passo 4

Agora, vamos construir Proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 . Primeiro, projetamos v2 cdot u1 = 3 times 1 + (-5) times 0 = 3 em u1 cdot u1 = 1^2 + 0^2 = 1 :
Proju1 v2 = 31 times (1, 0) = (3, 0)
Calculando o produto interno:
Então,

Passo 5

Subtraímos essa projeção de w2 = v2 - Proju1 v2 = (3, -5) - (3, 0) = (0, -5) para obter um vetor perpendicular a :

Passo 6

Agora, normalizamos |w2| = raiz0^2 + (-5)^2 = raiz25 = 5 para obter u2 = w2|w2| = (0, -5)5 = (0, -1) :
Então,

Resposta

A base ortonormal resultante pelo processo de Gram-Schmidt é:
, (1,, 0), (0,, -1) ,

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