Considere as seguintes bases do
e do
dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma base
no espaço vetorial
. O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender:
- Produto Interno: Usaremos o produto interno usual em
, que é basicamente multiplicar as componentes correspondentes dos vetores e somar. - Processo de Gram-Schmidt: Um método para converter uma base qualquer em uma base ortonormal, ou seja, uma base onde todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos nomear nossos vetores para facilitar. Seja
e
.
O objetivo do Gram-Schmidt é construir uma nova base
onde:
-
é um vetor unitário na direção de . -
é um vetor unitário que é perpendicular a .
Passo 3
Vamos começar calculando
. Para isso, normalizamos
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos construir
. Primeiro, projetamos
em
:
Calculando o produto interno:
Então,
Passo 5
Subtraímos essa projeção de
para obter um vetor perpendicular a
:
Passo 6
Agora, normalizamos
para obter
:
Então,
Resposta
A base ortonormal resultante pelo processo de Gram-Schmidt é:
Exercícios relacionados
Considere as seguintes bases do
e do
dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Seja
um produto interno em
(isto é, o espaço vetorial dos polinômios de grau 2), onde
e
. Dados os vetores
,
, calcular o produto interno
Considere as seguintes bases do
e do
dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Achar os valores e os vetores próprios do operador
dado por:
a)
b)
c) e
a)
b)
c)