Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma base no espaço vetorial . O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Para isso, vamos precisar entender:
  • Produto Interno: Usaremos o produto interno usual em , que é basicamente multiplicar as componentes correspondentes dos vetores e somar.
  • Processo de Gram-Schmidt: Um método para converter uma base qualquer em uma base ortonormal, ou seja, uma base onde todos os vetores têm comprimento 1 e são perpendiculares entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos nomear nossos vetores para facilitar. Seja e .
O objetivo do Gram-Schmidt é construir uma nova base onde:
  1. é um vetor unitário na direção de .
  2. é um vetor unitário que é perpendicular a .

Passo 3

Vamos começar calculando . Para isso, normalizamos :
Então,

Passo 4

Agora, vamos construir . Primeiro, projetamos em :
Calculando o produto interno:
Então,

Passo 5

Subtraímos essa projeção de para obter um vetor perpendicular a :

Passo 6

Agora, normalizamos para obter :
Então,

Resposta

A base ortonormal resultante pelo processo de Gram-Schmidt é:

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Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Seja um produto interno em (isto é, o espaço vetorial dos polinômios de grau 2), onde e . Dados os vetores , , calcular o produto interno
Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Achar os valores e os vetores próprios do operador dado por:
a)
b)
c) e