Considere as seguintes bases do V=R^2, V=R^3 e do V=R^4 dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
B=(1,0,0),(3,7,-2),(0,4,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente ortonormalizar uma base usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos transformar a base em uma base onde todos os vetores são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são perpendiculares entre si. Para isso, vamos usar o produto interno usual no espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base, |v1| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 . Como é o primeiro vetor, ele já está “perpendicular” aos anteriores (já que não há nenhum). Agora, vamos normalizá-lo para que tenha comprimento 1. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento.
O comprimento de u1 = v1|v1| = (1,0,0) é:
Então, o primeiro vetor da base ortonormal é:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo vetor, proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = ( 3 cdot 1 + 7 cdot 0 + (-2) cdot 01 ) (1,0,0) = (3,0,0) . Primeiro, precisamos torná-lo perpendicular ao primeiro vetor da nossa base ortonormal, w2 = v2 - proju1 v2 = (3,7,-2) - (3,0,0) = (0,7,-2) . Para isso, subtraímos a projeção de |w2| = raiz0^2 + 7^2 + (-2)^2 = raiz0 + 49 + 4 = raiz53 em u2 = w2|w2| = (0, 7raiz53, -2raiz53) .
A projeção de em é:
Então, o vetor ortogonalizado é:
Agora, normalizamos :
Então, o segundo vetor da base ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos para o terceiro vetor, proju1 v3 = ( v3 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = ( 0 cdot 1 + 4 cdot 0 + 1 cdot 01 ) (1,0,0) = (0,0,0) . Precisamos torná-lo perpendicular aos dois vetores que já temos na base ortonormal, proju2 v3 = ( v3 cdot u2u2 cdot u2 ) u2 = ( 0 cdot 0 + 4 cdot 7raiz53 + 1 cdot -2raiz531 ) u2 = ( 28 - 2raiz53 ) u2 = ( 26raiz53 ) u2 e w3 = v3 - proju1 v3 - proju2 v3 = (0,4,1) - (0,0,0) - ( 26raiz53 ) (0, 7raiz53, -2raiz53) . Isso é feito subtraindo as projeções de w3 = (0, 4 - 26 cdot 753, 1 - 26 cdot (-2)53) = (0, 4 - 18253, 1 + 5253) = (0, 212 - 18253, 53 + 5253) = (0, 3053, 10553) em |w3| = raiz0^2 + (3053)^2 + (10553)^2 = raiz0 + 9002809 + 110252809 = raiz119252809 = raiz1192553 = 15raiz5353 e u3 = w3|w3| = (0, 3053 cdot 5315raiz53, 10553 cdot 5315raiz53) = (0, 2raiz53, 7raiz53) .
Primeiro, a projeção em :
Depois, a projeção em :
Subtraindo as projeções de :
Calculando:
Agora, normalizamos :
Simplificando:

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
, (1,,0,,0), (0,,7raiz53,,-2raiz53), (0,,2raiz53,,7raiz53) ,

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