Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente ortonormalizar uma base usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos transformar a base em uma base onde todos os vetores são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são perpendiculares entre si. Para isso, vamos usar o produto interno usual no espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base, . Como é o primeiro vetor, ele já está “perpendicular” aos anteriores (já que não há nenhum). Agora, vamos normalizá-lo para que tenha comprimento 1. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento.
O comprimento de é:
Então, o primeiro vetor da base ortonormal é:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo vetor, . Primeiro, precisamos torná-lo perpendicular ao primeiro vetor da nossa base ortonormal, . Para isso, subtraímos a projeção de em .
A projeção de em é:
Então, o vetor ortogonalizado é:
Agora, normalizamos :
Então, o segundo vetor da base ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos para o terceiro vetor, . Precisamos torná-lo perpendicular aos dois vetores que já temos na base ortonormal, e . Isso é feito subtraindo as projeções de em e .
Primeiro, a projeção em :
Depois, a projeção em :
Subtraindo as projeções de :
Calculando:
Agora, normalizamos :
Simplificando:

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:

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Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Considere as seguintes bases do e do dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Achar os valores e os vetores próprios do operador dado por:
a)
b)
c) e
Determine nos itens abaixo se for diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre uma matriz que diagonaliza e determine .
a) ;
b)
c) .