Considere as seguintes bases do
e do
dadas nos itens abaixo. Ortonormalize essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente ortonormalizar uma base usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos transformar a base
em uma base onde todos os vetores são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e são perpendiculares entre si. Para isso, vamos usar o produto interno usual no espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base,
. Como é o primeiro vetor, ele já está “perpendicular” aos anteriores (já que não há nenhum). Agora, vamos normalizá-lo para que tenha comprimento 1. A normalização é feita dividindo o vetor pelo seu comprimento.
O comprimento de
é:
Então, o primeiro vetor da base ortonormal é:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo vetor,
. Primeiro, precisamos torná-lo perpendicular ao primeiro vetor da nossa base ortonormal,
. Para isso, subtraímos a projeção de
em
.
A projeção de
em
é:
Então, o vetor ortogonalizado é:
Agora, normalizamos
:
Então, o segundo vetor da base ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos para o terceiro vetor,
. Precisamos torná-lo perpendicular aos dois vetores que já temos na base ortonormal,
e
. Isso é feito subtraindo as projeções de
em
e
.
Primeiro, a projeção em
:
Depois, a projeção em
:
Subtraindo as projeções de
:
Calculando:
Agora, normalizamos
:
Simplificando:
Resposta
A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é: