Achar o vetor , tal que e .

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o vetor que satisfaz duas condições: o produto escalar de com é igual a 3, e o produto vetorial de com é igual a . Vamos precisar entender como funcionam o produto escalar e o produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
No nosso caso, temos:
Então, a primeira equação que temos é:
çã

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e é outro vetor dado por:
Aplicando isso aos vetores e , temos:
Sabemos que esse resultado deve ser igual a . Então, temos as seguintes equações:
Observamos que a primeira e a terceira equação são iguais, então na verdade temos duas equações:
çãçã

Passo 4

Vamos resolver a Equação 2 para encontrar o valor de :
Agora já sabemos que .

Passo 5

Com , podemos usar a Equação 1 para encontrar a relação entre e :
çã
E da Equação 3, temos:
çã
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema subtraindo a Equação 3 da Equação 1:
Com , podemos substituir na Equação 3 para encontrar :

Resposta

O vetor que satisfaz as condições dadas é:

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