Achar o vetor w=(x, y, z), tal que w cdot(1,0,2)=3 e w times(1,0,-1)=(-2,3,-2).

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o vetor que satisfaz duas condições: o produto escalar de com é igual a 3, e o produto vetorial de com é igual a . Vamos precisar entender como funcionam o produto escalar e o produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e w cdot (1, 0, 2) = x cdot 1 + y cdot 0 + z cdot 2 = x + 0 + 2z = x + 2z = 3 é dado por:
x + 2z = 3 (Equação 1)
No nosso caso, temos:
Então, a primeira equação que temos é:
çã

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) e w times (1, 0, -1) = (y cdot (-1) - z cdot 0, z cdot 1 - x cdot (-1), x cdot 0 - y cdot 1) = (-y, z + x, -y) é outro vetor dado por:
-y = -2 z + x = 3 -y = -2
Aplicando isso aos vetores -y = -2 (Equação 2) x + z = 3 (Equação 3) e , temos:
Sabemos que esse resultado deve ser igual a . Então, temos as seguintes equações:
Observamos que a primeira e a terceira equação são iguais, então na verdade temos duas equações:
çãçã

Passo 4

Vamos resolver a Equação 2 para encontrar o valor de -y = -2 implies y = 2 :
Agora já sabemos que .

Passo 5

Com x + 2z = 3 (Equação 1) , podemos usar a Equação 1 para encontrar a relação entre x + z = 3 (Equação 3) e x + 2z = 3 x + z = 3 :
çã
E da Equação 3, temos:
çã
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema subtraindo a Equação 3 da Equação 1:
(x + 2z) - (x + z) = 3 - 3 implies z = 0
Com x + 0 = 3 implies x = 3 , podemos substituir na Equação 3 para encontrar :

Resposta

O vetor w = (3, 2, 0) que satisfaz as condições dadas é:

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