Então, a gente tem que encontrar o vetor que satisfaz duas condições: o produto escalar de com é igual a 3, e o produto vetorial de com é igual a . Vamos precisar entender como funcionam o produto escalar e o produto vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
No nosso caso, temos:
Então, a primeira equação que temos é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e é outro vetor dado por:
Aplicando isso aos vetores e , temos:
Sabemos que esse resultado deve ser igual a . Então, temos as seguintes equações:
Observamos que a primeira e a terceira equação são iguais, então na verdade temos duas equações:
çãçã
Passo 4
Vamos resolver a Equação 2 para encontrar o valor de -y = -2 implies y = 2 :
Agora já sabemos que .
Passo 5
Com x + 2z = 3 (Equação 1) , podemos usar a Equação 1 para encontrar a relação entre x + z = 3 (Equação 3) e x + 2z = 3 x + z = 3 :
çã
E da Equação 3, temos:
çã
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema subtraindo a Equação 3 da Equação 1:
(x + 2z) - (x + z) = 3 - 3 implies z = 0
Com x + 0 = 3 implies x = 3 , podemos substituir na Equação 3 para encontrar :
Resposta
O vetor w = (3, 2, 0) que satisfaz as condições dadas é: