Conhecendo-se u=(1,2,0), v=(0,1,3) e w=(-1,3,1) calcular os escalares m, n e p em m u+n v+p w=(0,0,14).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá três vetores: , e . A gente precisa encontrar os números , e tal que a combinação linear desses vetores seja igual ao vetor . Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear dos vetores:
m cdot u + n cdot v + p cdot w = (0, 0, 14)
Isso significa que:
m(1, 2, 0) + n(0, 1, 3) + p(-1, 3, 1) = (0, 0, 14)

Passo 3

Agora, vamos separar isso em componentes m cdot 1 + n cdot 0 + p cdot (-1) = 0 Rightarrow m - p = 0 , m cdot 2 + n cdot 1 + p cdot 3 = 0 Rightarrow 2m + n + 3p = 0 e m cdot 0 + n cdot 3 + p cdot 1 = 14 Rightarrow 3n + p = 14 :
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para m - p = 0 Rightarrow m = p :

Passo 5

Substituindo 2p + n + 3p = 0 Rightarrow 5p + n = 0 Rightarrow n = -5p na segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos 3(-5p) + p = 14 Rightarrow -15p + p = 14 Rightarrow -14p = 14 Rightarrow p = -1 na terceira equação:

Passo 7

Com m = p = -1 , encontramos os outros valores:
n = -5p = -5(-1) = 5

Resposta

Os escalares são , e .

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