Calcular x e y sabendo que os pontos A=(1,-1,3), B=(x, y, 5) e C=(5,-13,11) são colineares.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de e sabendo que os pontos , e são colineares. Isso significa que esses três pontos estão alinhados em uma única reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que se os pontos A, B e C são colineares, então os vetores AB = k cdot AC e devem ser múltiplos um do outro. Ou seja, existe um escalar tal que:

Passo 3

Vamos calcular os componentes dos vetores AB = (x - 1, y - (-1), 5 - 3) = (x - 1, y + 1, 2) e AC = (5 - 1, -13 - (-1), 11 - 3) = (4, -12, 8) .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, igualamos os componentes correspondentes dos vetores x - 1 = k cdot 4 (1) e y + 1 = k cdot (-12) (2) :
2 = k cdot 8 (3)

Passo 5

Vamos resolver a equação (3) para encontrar o valor de 2 = 8k implies k = 28 = 14 :

Passo 6

Com o valor de x - 1 = 14 cdot 4 implies x - 1 = 1 implies x = 2 encontrado, substituímos na equação (1) para encontrar :

Passo 7

Agora, substituímos y + 1 = 14 cdot (-12) implies y + 1 = -3 implies y = -4 na equação (2) para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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