Sendo |u|=2,|v|=3,|w|=4, widehatu v=90^circ e widehatv w=30^circ, calcular: OBS.: u, v e w são coplanares. |u+v+w|

Passo 1

No enunciado, temos três vetores coplanares , e com magnitudes , e . Os ângulos entre e é e entre e é . Queremos calcular a magnitude do vetor resultante . Para resolver, vamos usar a adição de vetores e a lei dos cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos somar os vetores |u + v| = raiz|u|^2 + |v|^2 = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13 e . Como o ângulo entre eles é , eles são perpendiculares. A magnitude da soma pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:

Passo 3

Agora, precisamos somar o vetor tan theta = |u||v| = 23 implies theta = tan^-1(23) approx 33,69^circ ao vetor resultante phi = 30^circ + 33,69^circ = 63,69^circ . Para isso, precisamos encontrar o ângulo entre e .
Sabemos que o ângulo entre e é . Como e são perpendiculares, o vetor forma um ângulo com dado por:
Portanto, o ângulo entre e será:

Passo 4

Agora, aplicamos a lei dos cossenos para encontrar a magnitude da soma total:
|u + v + w|^2 = |u + v|^2 + |w|^2 + 2 cdot |u + v| cdot |w| cdot cos phi
Substituindo os valores:
|u + v + w|^2 = 13 + 16 + 2 cdot raiz13 cdot 4 cdot cos 63,69^circ
Calculando |u + v + w|^2 = 29 + 8 raiz13 cdot 0,4472 approx 29 + 12,45 approx 41,45 :
|u + v + w| approx raiz41,45 approx 6,44
Então,

Resposta

A magnitude do vetor é aproximadamente unidades.

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