Achar os vetores v=(x, y z) tais que:
ii) v é ortogonal a u=(3,-3,0)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os vetores v = (x, y, z) que são ortogonais ao vetor u = (3, -3, 0). Aqui, estamos trabalhando com produto escalar de vetores e o conceito de ortogonalidade. Para resolver, precisamos utilizar a definição de vetores ortogonais através do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é calculado assim:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Então, para que v seja ortogonal a u, precisamos que:
v cdot u = 0

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do produto escalar aos vetores dados:
v cdot u = (x)(3) + (y)(-3) + (z)(0) = 0
Simplificando:
3x - 3y + 0 = 0
3x - 3y = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação 3x - 3y = 0 para encontrar a relação entre x e y:
3x - 3y = 0 implies 3x = 3y implies x = y
Isso significa que, para qualquer valor de x, o valor de y deve ser igual a x para que os vetores sejam ortogonais.

Passo 5

Como a equação não envolve z, o valor de z pode ser qualquer número real. Portanto, os vetores v = (x, y, z) que satisfazem a condição de serem ortogonais a u são aqueles onde x = y e z é livre.

Resposta

Os vetores v = (x, y, z) ortogonais a u = (3, -3, 0) são todos os vetores da forma:
v = (t, t, z)
onde t e z são números reais quaisquer.

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