Determine os valores de p e q para que sejam paralelos os vetores .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores de e para que os vetores e sejam paralelos. Isso envolve o conteúdo de vetores paralelos e escalamento de vetores. Vamos precisar lembrar que dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser múltiplo. Se e são paralelos, então existe um número real tal que:
Ou seja, cada componente de é igual ao correspondente de multiplicado por .
Passo 3
Vamos igualar as componentes dos vetores usando a relação acima:
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ), e também envolve .
Passo 4
Primeiro, vamos resolver para 3 = 2k k = 32 usando a segunda equação:
Passo 5
Com o valor de p + 1 = 4k p + 1 = 4 cdot 32 p + 1 = 6 p = 5 , vamos encontrar usando a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos determinar 1 = (2q - 1)k 1 = (2q - 1) cdot 32 usando a terceira equação e o valor de 23 cdot 1 = 2q - 1 23 = 2q - 1 :
23 + 1 = 2q 53 = 2q
Multiplicando ambos os lados por q = 56 para isolar :
Adicionando 1 em ambos os lados:
Dividindo por 2:
Resposta
Os valores que tornam os vetores paralelos são e .