Determine os valores de p e q para que sejam paralelos os vetores u=(p+1,3,1) e u=(4,2,2 q-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores de e para que os vetores e sejam paralelos. Isso envolve o conteúdo de vetores paralelos e escalamento de vetores. Vamos precisar lembrar que dois vetores são paralelos se um for múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser múltiplo. Se u = k cdot v e são paralelos, então existe um número real tal que:
Ou seja, cada componente de é igual ao correspondente de multiplicado por .

Passo 3

Vamos igualar as componentes dos vetores usando a relação acima:
p + 1 = 4k 3 = 2k 1 = (2q - 1)k
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ), e também envolve .

Passo 4

Primeiro, vamos resolver para 3 = 2k k = 32 usando a segunda equação:

Passo 5

Com o valor de p + 1 = 4k p + 1 = 4 cdot 32 p + 1 = 6 p = 5 , vamos encontrar usando a primeira equação:

Passo 6

Agora, vamos determinar 1 = (2q - 1)k 1 = (2q - 1) cdot 32 usando a terceira equação e o valor de 23 cdot 1 = 2q - 1 23 = 2q - 1 :
23 + 1 = 2q 53 = 2q
Multiplicando ambos os lados por q = 56 para isolar :
Adicionando 1 em ambos os lados:
Dividindo por 2:

Resposta

Os valores que tornam os vetores paralelos são e .

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